Классификация математических моделей

Классификация ММ приведена в таблице.

 

Признаки классификации	Виды математических моделей
Принадлежность к иерархическому уровню	Микруровня Макроуровня Метауровня
Характер отображаемых свойств объекта	Структурные Функциональные
Способ представления свойств объекта	Аналитические Алгоритмические Имитационные
Способ получения модели	Теоретические Эмпирические
Особенности поведения объекта	Детерминированные Вероятностные
Вид представления параметров	Аналоговые Дискретные

 

По принадлежности модели к иерархическому уровню описания объекта:

· микроуровень (типовыми процессами являются массообменные, теплофизические, гидродинамические), моделирование осуществляется в целях синтеза технологического процесса для отдельного или нескольких агрегатов;

· макроуровень – моделирование процессов, имеющих более высокий уровень агрегации; модели применяют для синтеза текущего управления технологическим процессом для одного агрегата или технологического комплекса в целом;

· метауровень – моделирование процессов в совокупности агрегатов и связывающих их материально-энергетических потоков; такие модели служат для синтеза технологического комплекса как единого целого, то есть для синтеза управления развитием. Математический аппарат на метауровне – теория множеств, математическая логика, теория массового обслуживания.

 

По характеру отображаемых свойств модели подразделяют на:

· функциональные модели, используемых для описания физических и информационных процессов, протекающих при функционировании объекта;

· структурные, описывающие состав и взаимосвязи элементов системы (процесса, объекта).

Например, в САПР ТП для полного представления структуры технологического процесса, технологической операции используются структурно – логические модели.

Аналитические математические модели представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних. Это, например, выражения для определения сил резания. Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, конечно-разностных и т. п.) или логических условий. Язык аналитического описания содержит следующие основные группы семантических элементов: критерий (критерии), неизвестные, данные, математические операции, ограничения. К аналитическим относятся модели, построенные на основе аппарата математического программирования, корреляционного, регрессионного анализа.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы.

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях.

В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования. Когда результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы, являются реализациями случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации, и целесообразно в качестве метода машинной реализации имитационной модели использовать метод статистического моделирования. Первоначально был разработан метод статистических испытаний, представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло). Затем этот прием стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, т. е. появился метод статистического моделирования. Таким образом, методом статистического моделирования будем в дальнейшем называть метод машинной реализации имитационной модели, а методом статистических испытаний (Монте-Карло) − численный метод решения аналитической задачи.

Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

Алгоритмические модели бывают численными и имитационными.

Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне. Например, существуют выражения для сил резания, полученные на основе обобщения физических законов. Но они не приемлемы для практического использования, т.к. очень громоздки и не совсем адаптированы к реальным процессам обработки материалов.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

Детерминированные математические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т.д.

Аналоговые математические модели – это модели, свойства которых определяются законами изучаемой системы, а переменные и параметры – непрерывные величины.

Дискретные математические модели – это модели, в которых все переменные и параметры являются дискретными величинами.

Моделирование может быть полным, неполным и приближенным.

Полным называется моделирование, при котором достигается полное подобие исследуемого объекта и модели во времени и в пространстве. В полной ММ учитываются связи всех элементов проектируемого объекта, например, маршрутная технология. Неполным называется моделирование, при котором реализуется неполное подобие исследуемого объекта и модели во времени и в пространстве. Приближенным называется моделирование, при котором некоторые проявления исследуемого объекта не моделируются совсем.

При технологическом проектировании наиболее распространены дискретные модели, переменные которых дискретные величины, а множество решений счётно. В большинстве случаев проектирования технологических процессов используют статические модели, уравнения которых не учитывают инерционность процессов в объекте.

В зависимости от сложности задачи используются различные принципы построения моделей. При этом может быть необходимость разработки менее точной модели, но, тем не менее, более полезной для практики. Возникают две задачи: с одной стороны, нужно разработать модель, на которой проще всего получать численное решение, с другой стороны, обеспечить максимально возможную точность модели.

С целью упрощения модели используются такие приёмы, как исключение переменных, изменение характера переменных, изменение функциональных соотношений между переменными (например, линейная аппроксимация), изменение ограничений (их модификация, постепенный ввод ограничений в условие задачи). 

Анализ литературных источников по моделированию позволяет классифицировать математические модели по следующим признакам:

1. Сложность объекта моделирования.

2. Оператор моделирования (подмодель).

3. Входные и выходные параметры модели.

4. Цели моделирования.

5. Метод реализации модели.

При моделировании простых объектов не рассматривается внутренне строение объекта, не выделяются составляющие его элементы или подпроцессы. Простым объектом, например, является материальная точка в классической механике. Для сложных систем характерно наличие большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих элементов. Модели объектов-систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимосвязи между ними, называются структурными моделями.