Дифференцирование явных функций.

Производной от функции  по аргументу  называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

, или

(производная обозначается также ).

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке , т.е. .

Производная есть скорость изменения функции в точке .

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Формулы дифференцирования основных функций.

1)		6)		11)
2)		7)		12)
3)		8)		13)
4)		9)
5)		10)

 

Основные правила дифференцирования

Пусть С – постоянная, , , имеющие производные. Тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

 

Дифференцирование сложной функции.

Если , , т.е. , где функции  и  имеют производные, то

(правило дифференцирования сложной функции)

Дифференцирование неявных функций.

Пусть уравнение  определяет  как неявную функцию от . В дальнейшем будем считать эту функцию дифференцируемой.

Продифференцировав по  обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно . Из этого уравнения легко находится , т.е. производная неявной функции для всех значений  и , при которых множитель при  в уравнении не обращается в нуль.

Примеры выполнения заданий.

Дифференцирование явных функций.

Пример 1. .

Решение:

.

Ответ:

Пример 2. .

Решение:

.

Ответ: .

Пример 3. .

Решение:

.

Ответ: .

Дифференцирование сложной функции.

Пример 4. .

Решение:

Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции имеем

.

Ответ: .

Пример 5. .

Решение:

Ответ: .

Пример 6. .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. .

Решение:

Перепишем функцию  в другой вид .

Тогда ,

получим

.

Ответ: .

Пример 8. .

Решение:

Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим , . Продифференцируем обе части последнего равенства по х. Так как у является функцией от х, то  есть сложная функция х и . Следовательно,

,

, т.е.

.

Ответ:

Дифференцирование неявных функций.

Пример 9. Найти производную  из уравнения .

Решение:

Так как у является функцией от х, то будем рассматривать у² как сложную функцию от х. Следовательно, .

Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим , т.е. .

Ответ: .

Пример 10. Найти производную  из уравнения .

Решение:

Дифференцируя по х обе части уравнения, получаем

т.е. .

Ответ: .

 

Задания для практической работы.

Вариант № 1.

Найти производные функций: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. .	Найти производную  от неявных функций: 8. . 9. . 10. .

Практическая работа № 7.

Тема: Частные производные различных порядков.

Краткое изложение темы.

Частной производной от функции  по независимой переменной х называется конечный предел

, вычисленный при постоянном у.

Частной производной по у называется конечный предел

, вычисленный при постоянном х.

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти частные производные (  и ).от функции:

Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим .

Рассматривая х как постоянную величину, получим .

Ответ: , .

Пример 2. Найти частные производные (  и ) от функции: .

Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим .

Рассматривая х как постоянную величину, получим .

Ответ: , .

Пример 3. Найти частные производные (  и ) от функции: .

Решение: , .

Ответ: , .

Задания для практической работы.

Вариант 1.

Найти частные производные следующих функций:

1.		5.
2.		6.
3.		7.	. Найти  и .
4.		8.	. Найти  и .

Практическая работа № 8.