Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема: действия над матрицами.Стр 1 из 8Следующая ⇒
Практическая работа № 1. Тема: Действия над матрицами. Краткое изложение темы. Прямоугольная таблица чисел вида называется матрицей. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы образуют столбцы и строки. Здесь — действительные числа (i = 1, 2,..., m, j=1, 2,..., n), i и j — соответственно индексы строки и столбца. Произведение числа строк на число столбцов называют размером матрицы А. Произведением матрицы А на действительное число называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число . Суммой матриц A и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Разность двух матриц одинакового размера определяется равенством: . Произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы А на соответствующие элементы -го столбца матрицы В: , где , . Умножение матрицы А на матрицу В определено тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В. Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка. Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначение ), которая удовлетворяет условиям , где Е – единичная матрица. Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной. Теорема: Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица А – вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует. 2. Находим матрицу , транспонированную к матрице А. 3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу . . 4. Вычисляем обратную матрицу по формуле: , ; 5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения .
Любой квадратной матрице порядка можно поставить в соответствие число, называемое определителем, обозначаемое следующим образом и вычисляемое по определенным правилам: 1) Квадратная матрица первого порядка есть , ее определитель: . 2) Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле: . 3) Определитель квадратной матрицы третьего порядка вычисляется по формуле: . 4) Определитель квадратной матрицы -го порядка вычисляется по теореме: определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраическое дополнения. Иначе говоря, имеют место следующие равенства: · разложение определителя по элементам -ой строки: · разложение определителя по элементам -го столбца: . Минором элемента определителя -го порядка называется определитель ( -1)-го порядка, полученный из данного вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Алгебраическим дополнением некоторого элемента называется минор этого элемента, взятый со знаком : . Примеры выполнения заданий. Пример 1. Вычислить: . Решение: Ответ: Пример 2. Вычислить: Решение: Ответ: Пример 3. Найти к . Решение: , Ответ: Пример 4. Вычислить: Решение: Ответ: Пример 5. Даны матрицы А и В. , Найдите: . Решение: 1) 2) 3) 4) 5) Ответ: . Пример 6. Вычислите обратную матрицу: . Решение: 1) Находим определитель: , значит обратная матрица существует. 2) Находим матрицу , транспонированную к матрице А: . 3) Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы: Составляем из них присоединенную матрицу : 4) Находим обратную матрицу: Ответ: Задания для практической работы. Вариант 1
Практическая работа № 2. Краткое изложение темы. Примеры выполнения заданий. Пример 1. Найти решение системы уравнений методом Крамера: Решение:
1) Найдем главный определитель: D = = 5∙2∙2 + 1∙3∙(-1) + (-1) ∙3∙4 - 4∙2∙(-1) - 1∙(-1) ∙2 – 3∙3∙5 = - 30; 2) Найдем первый вспомогательный определитель Dх = = 0∙2∙2 + 14∙3∙(-1) + (-1) ∙3∙16 - 16∙2∙(-1) - 3∙3∙0 - 14∙(-1) ∙2= - 30. 3) Найдем второй вспомогательный определитель Dу = = 5∙14∙2 + 1∙16∙(-1) + 0∙3∙4 - 4∙14∙(-1) - 16∙3∙5 - 1∙0∙2 = - 60. 4) Найдем третий вспомогательный определитель Dz = = 5∙2∙16 + 1∙3∙0 + (-1) ∙14∙4 - 4∙2∙0 - 3∙14∙5 - 1∙(-1) ∙16= -90. 5) Найдем х, у и z по формулам Крамера x = Dх/D = 1; у = Dу/D = 2; z = Dz/D = 3. Ответ: x = 1, у = 2, z = 3. Пример 2. Найти х, у, z при помощи обратной матрицы: Решение: 1. Находим определитель системы: . 2. Находим транспонированную матрицу . 3. Находим присоединенную матрицу. , , , , , , , , . Следовательно: . 4. Вычисляем обратную матрицу : . 5. Находим х, у, z. Ответ: х=1, у=2, z=3. Задания для практической работы. Вариант 1.
Практическая работа № 3. Краткое изложение темы. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Метод Гаусса – это метод последовательного исключения переменных. Он заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного или трапецеидального вида, из которых последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные. К элементарным преобразованиям относятся: 1. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2. Перестановка уравнений местами. 3. Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех . Примеры выполнения заданий. Пример 1. Решите системы линейных уравнений методом Гаусса: Решение: Переставим третье уравнение на место первого: Запишем расширенную матрицу В следующей матрице первую строку оставим неизменной, а вторую и третью строки получим в результате умножения первой строки на 3, а затем на 2 и вычитанием поочередно первой и второй, а затем первой и третьей строк. Разделим вторую строку на 8 Домножим вторую строку на 3 и из нее вычтем третью строку Получили треугольную матрицу. Прямой ход выполнили. Обратный ход: последнюю строку матрицы запишем в виде уравнения. Получим: , Предпоследнюю строку матрицы запишем в виде и подставим вместо z найденной значение 3 И далее, из первого уравнения получим Итак, получили x = 1, y = 2, z = 3 Ответ: (1; 2;3)
Задания для практической работы. Вариант 1.
Практическая работа № 4. Краткое изложение темы. Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом: 1) два комплексных числа и называются равными, если и , 2) суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число ,
3) произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число . Запись называется алгебраической формой записи комплексного числа, где - действительная часть, - мнимая часть комплексного числа. Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: . Числа и называются комплексно-сопряженными. Числа и называются противоположными. Модулем комплексного числа называется число . Аргументом комплексного числа называется угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. Записывается так: или . Из определения тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства: , . Действия над комплексными числами и , заданными в алгебраической форме: сложение: , вычитание: , умножение: , деление: . Тригонометрическая форма комплексного числа . Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме: умножение: , деление: , возведение в -ю степень: - формула Муавра, извлечение корня -ой степени , где - арифметический корень, .
Примеры выполнения заданий. Пример 1. Найти модуль и главное значение аргумента числа . Решение: 1. Выполним деление: 2. Найдем модуль данного числа: . 3. Найдем главное значение аргумента: Ответ: , , .
Пример 2. Представить в тригонометрической форме число: . Решение: Найдем модуль числа: . Найдем главное значение аргумента: Значит, или Ответ:
Пример 3. Возвести в степень . Решение: Представим данное число в тригонометрической форме. Итак, . По формуле Муавра получим Ответ:
Пример 4. Извлечь корни из комплексного числа . Решение: Представим число 1 в тригонометрической форме: . По формуле находим если , то , если , то , если , то . Ответ: , то , , то , , то .
Пример 5. Решите уравнение . Решение: Введем подстановку , тогда Вычислим дискриминант . Найдем корни уравнения , . Тогда
Ответ: , , , . Задания для практической работы. Вариант 1. 1. Найдите модуль и аргумент числа . 2. Выполните действия: . 3. Возведите в степень по формуле Муавра . 4. Извлеките корень . 5. Решите уравнение .
Практическая работа № 5. Краткое изложение темы. Число А называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что при . Это записывают так: .
Свойства пределов: Если существуют и , то 1) , 2) , 3) (при ). Используются также следующие пределы: (первый замечательный предел); (второй замечательный предел). Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Пусть в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой точки ) функции и дифференцируемы и . Если или , т. е. частное в точке представляет собой неопределенность вида или , то , если предел в правой части этого равенства существует. Примеры выполнения заданий. Пример 1. Найти предел . Решение: Ответ: Пример 2. Найти предел . Решение: Имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители. . Ответ: Пример 3. Найти предел . Решение: Это – неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень , т.е. на : . Ответ: . Пример 4. Найти предел . Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное число . Ответ: . Пример 5. Найти предел . Решение: Используя первый замечательный предел, имеем . Ответ: . Пример 6. Найти предел . Решение. . Ответ: . Пример 7. Найти предел . Решение: Делением числителя на знаменатель выделим целую часть: . Таким образом, при данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности (неопределенность вида ). Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим Так как при , то . Учитывая, что , находим . Ответ: Пример 8. Найти . Решение: Это – неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя. Имеем , так как . Здесь правило Лопиталя применено дважды. Ответ: .
Задания для практической работы. Вариант № 1. Вычислите пределы:
Практическая работа № 6. Краткое изложение темы. Примеры выполнения заданий. Задания для практической работы. Вариант № 1.
Практическая работа № 7. Краткое изложение темы. Частной производной от функции по независимой переменной х называется конечный предел , вычисленный при постоянном у. Частной производной по у называется конечный предел , вычисленный при постоянном х. Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования. Примеры выполнения заданий. Пример 1. Найти частные производные ( и ).от функции: Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим . Рассматривая х как постоянную величину, получим . Ответ: , . Пример 2. Найти частные производные ( и ) от функции: . Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим . Рассматривая х как постоянную величину, получим . Ответ: , . Пример 3. Найти частные производные ( и ) от функции: .
Решение: , . Ответ: , . Задания для практической работы. Вариант 1. Найти частные производные следующих функций:
Практическая работа № 8. Краткое изложение темы. Определение: Множество всех первообразных функций f(x) в промежутке х называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается так . Свойства неопределенного интеграла: 1. имеем 2. (подынтегральному выражению). 3. где k – постоянная. 4. 5. Метод замены переменной. Пусть имеем и x = φ(t) – непрерывно дифференцированная. Рассмотрим - первообразная для f(x)∙φ′(t). Итак, функция F(φ(t)) – есть первообразная для Следовательно: Из (1) и (2) получаем следующее равенство. - формула замены переменной в неопределенном интеграле. На практике замену переменных производят, как правило, t = g(x). Определенный интеграл Определение. Приращение F(b) — F(a) любой из первообразных функций F(х) + С при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом и обозначается . - формула Ньютона-Лейбница.
Примеры выполнения заданий. Пример 1. Вычислить . Решение: Согласно правилу имеем: . Ответ: Пример 2. Вычислить . Решение: Ответ: Пример 3. Найти: Решение: Ответ: Пример 4. Найти: Решение: Ответ: Пример 5. Найти . Решение: Вынесем множитель за знак интеграла: . Положим тогда . Находим новые пределы: Следовательно . Ответ: .
Задания для практической работы. Вариант 1. Найдите следующие интегралы:
Практическая работа № 9. Краткое изложение темы. Уравнение вида ,
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 109; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.126.5 (0.317 с.) |