Тема: действия над комплексными числами.

Краткое изложение темы.

Комплексными числами называются числа вида , где  и  - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1) два комплексных числа  и  называются равными, если  и ,

2) суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число ,

3) произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число .

Запись  называется алгебраической формой записи комплексного числа, где  - действительная часть,  - мнимая часть комплексного числа.

Любое действительное число  содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: .

Числа  и  называются комплексно-сопряженными.

Числа  и  называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число .

Аргументом комплексного числа называется угол  между действительной осью  и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. Записывается так:  или .

Из определения тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства:

, .

Действия над комплексными числами  и , заданными в алгебраической форме:

сложение: ,

вычитание: ,

умножение: ,

деление: .

Тригонометрическая форма комплексного числа

.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме:

умножение:

,

деление:

,

возведение в -ю степень:

 - формула Муавра,

извлечение корня -ой степени

,

где  - арифметический корень, .

 

Показательная функция с комплексным показателем

.

В частности, при  получается соотношение

 - формула Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями.

Показательная функция имеет период, равный , т.е. .

Показательная форма записи комплексного числа .

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме:

умножение: ,

деление: ,

возведение в -ю степень: ,

извлечение корня -ой степени ,

где  - арифметический корень, .

 формулы Эйлера.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Найти модуль и главное значение аргумента числа .

Решение:

1. Выполним деление:

2. Найдем модуль данного числа: .

3. Найдем главное значение аргумента:  

Ответ: , , .

 

Пример 2. Представить в тригонометрической форме число: .

Решение:

Найдем модуль числа: .

Найдем главное значение аргумента:

Значит,

или

Ответ:

 

Пример 3. Возвести в степень .

Решение:

Представим данное число в тригонометрической форме.

Итак, .

По формуле Муавра получим

Ответ:

 

Пример 4. Извлечь корни из комплексного числа .

Решение:

Представим число 1 в тригонометрической форме: .

По формуле находим

если , то ,

если , то ,

если , то .

Ответ: , то , , то , , то .

 

Пример 5. Решите уравнение .

Решение:

Введем подстановку , тогда

Вычислим дискриминант .

Найдем корни уравнения , .

Тогда

или

Ответ: , , , .

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Найдите модуль и аргумент числа .

2. Выполните действия: .

3. Возведите в степень по формуле Муавра .

4. Извлеките корень .

5. Решите уравнение .

 

 

Практическая работа № 5.