Тема: решение задач по теории вероятностей .

Цели работы: научиться решать задачи по теории вероятностей. Познакомиться с понятием случайная величина, законами ее распределения, научиться находить математическое ожидание и дисперсию.

Дидактический материал для выполнения практической работы:

В теории вероятностей каждому случайному событию А ставится в соответствие неотрицательная величина Р(А), называемая вероятностью события А и характеризующая меру возможности его реализации.

Если результат испытания может быть представлен совокупностью n единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов, то по определению вероятность события А – это отношение числа m(A) исходов, вызывающих появление события А, к числу всех исходов:

.

Вероятность достоверного события – единица, невозможного – ноль, поэтому всегда .

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Следствие: сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(A) + Р(A) = 1.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий (совмест­ного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А) Р(В / А) = Р(А)Р_А(В).

Также можно записать: Р(АВ) = Р(А)Р(В / А) = Р(В)Р(А/В) = Р(В)Р_В(А).

Если события независимые, то:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Формула полной вероятности .

Формула Байеса .

Вероятность того, что событие  наступит в  испытаниях, определяется по формуле Бернулли  

, где .

Случайная величина – это такая переменная, которая свои значения принимает с определенной вероятностью.

Совокупность значений случайной величины и соответствующих им вероятностей называется распределениемслучайной величины.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения.

Распределение дискретной случайной величины может быть задано графически или таблицей.

Дискретный вариационный ряд – это упорядоченное по возрастанию (как правило) множество вариант (значений величины ) и соответствующих им частот либо относительных частот.

Таблица или закон распределения обычно имеет вид

			…		…
			…		…

Для вероятностей , …,  справедливо равенство .

Графическим изображением распределения дискретной случайной величины служит совокупность точек .

Математическим ожиданием  называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности:

.

Дисперсией случайной величины  называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания

.

Распределение, заданное таблицей

0	1	…		…
		…		…

где , называется биноминальным распределением.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по биноминальному закону, равно , а дисперсия равна .