Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема: Способы вычисления интегралов.
Краткое изложение темы. Определение: Множество всех первообразных функций f(x) в промежутке х называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается так . Свойства неопределенного интеграла: 1. имеем 2. (подынтегральному выражению). 3. где k – постоянная. 4. 5. Основные формулы интегрирования. Метод замены переменной. Пусть имеем и x = φ(t) – непрерывно дифференцированная. Рассмотрим - первообразная для f(x)∙φ′(t). Итак, функция F(φ(t)) – есть первообразная для Следовательно: Из (1) и (2) получаем следующее равенство. - формула замены переменной в неопределенном интеграле. На практике замену переменных производят, как правило, t = g(x). Определенный интеграл Определение. Приращение F(b) — F(a) любой из первообразных функций F(х) + С при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом и обозначается . - формула Ньютона-Лейбница.
Примеры выполнения заданий. Пример 1. Вычислить . Решение: Согласно правилу имеем: . Ответ: Пример 2. Вычислить . Решение: Ответ: Пример 3. Найти: Решение: Ответ: Пример 4. Найти: Решение: Ответ: Пример 5. Найти . Решение: Вынесем множитель за знак интеграла: . Положим тогда . Находим новые пределы: Следовательно . Ответ: .
Задания для практической работы. Вариант 1. Найдите следующие интегралы:
Практическая работа № 9. Тема: Решение дифференциальных уравнений. Задания для подготовки к практической работе. Вспомнить правила интегрирования функций, свойства логарифмов (Смотрите приложение). Краткое изложение темы. Уравнение вида , связывающее аргумент , неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением. Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида где — неизвестная функция; — независимая переменная. Общее решение уравнений имеет вид . Частным решением называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида . Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные , а затем проинтегрировать обе части полученного равенства . Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , где и - функции от х. Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от х. Примеры выполнения заданий. 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример 1. Найти общее решение уравнения . Решение: 1) Разделим переменные , тогда 2) Интегрируем обе части полученного уравнения: ; . Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С написали . Это и есть общее решение данного уравнения. Ответ: .
Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при . Решение: 1) Разделим переменные 2) Интегрируем обе части полученного уравнения: - это общее решение данного уравнения. 3) Для нахождения значения произвольной постоянной С подставим значения и в выражение для общего решения: , , . Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид . Ответ: .
2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Пример 3. Найти общее решение уравнения . Решение: Это линейное уравнение: здесь , . Положим и продифференцируем это равенство по х: . Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим , или . (*) Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения . Разделим в этом уравнении переменные: Интегрируем обе части уравнения: , , (произвольную постоянную С принимаем равной 0, так как находим одно из частных решений) , . Подставим теперь выражение для в уравнение (*); тогда получим уравнение . Разделим переменные Интегрируем обе части уравнения Отсюда находим
Зная и , теперь получаем общее решение данного уравнения: . Ответ: .
Пример 4. Найти частное решение уравнения , если при . Решение: Разделив все члены данного уравнения на , получим уравнение , которое является линейным. Положим ; тогда . Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим , . (*) Для отыскания получаем уравнение , Разделим переменные: Интегрируем обе части уравнения: , , . Подставляя выражение для в уравнение (*), имеем , Разделяем переменные , , Интегрируем обе части уравнения , . Общее решение данного уравнения: . Используя начальные условия , , имеем , откуда . Таким образом, искомое частное решение имеет вид . Ответ: . Задания для практической работы. Вариант 1. 1. Найдите общее решение уравнения . 2. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при . 3. Найдите общее решение уравнения . 4. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям при . Практическая работа № 10.
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 119; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.143.168.172 (0.058 с.) |