Тема: Применение дифференциальных уравнений при решении задач.

Краткое изложение темы.

Уравнение, содержащее производные не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где  и  - постоянные величины.

Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. Записать дифференциальное уравнение в виде .
2. Составить его характеристическое уравнение:  (если  обозначить через ,  - через ,  - через 1).
3. Вычислить дискриминант ; при этом если:

а) , то характеристическое уравнение имеет два разных корня  и .

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

,

где  и  - произвольные постоянные.

б) , то при этом характеристическое уравнение имеет два равных корня  = .

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

,

где  и  - произвольные постоянные.

в) , то при этом характеристическое уравнение имеет комплексные корни  и .

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

,

где  и  - произвольные постоянные.

 

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

.

Найдем корни данного уравнения:

.

,

.

Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения запишется так:

.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

.

Найдем его корни:

.

,

.

Здесь , .

Так как характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня, то общее решение дифференциального уравнения записывается в виде

.

Ответ:

Пример 3. Найти частное решение уравнения , если  и  при .

Решение: Составим характеристическое уравнение

Найдем его корни

Так как корни действительные и равны, то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде

Продифференцируем общее решение

.

Подставив начальные данные в выражения для  и , получим систему уравнений

,

откуда  и .

Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Ответ:

Пример 4. Найти частное решение уравнения , если  и  при .

Решение: Составим характеристическое уравнение

Найдем его корни

Так как корни комплексно-сопряженные, то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде

.

Продифференцируем общее решение

.

Подставив начальные данные в выражения для  и , получим систему уравнений

,

откуда  и .

Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Ответ: .

Пример 5. Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из точки М (4;0) со скоростью v=2 t+3 t².

Решение:

При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначив путь через х, имеем ; тогда , или .

Проинтегрировав, получим х = t² + t³ + C.

Используя начальные условия найдем С. Так как х=4 при t=0, то, подставив эти значения в общее решение, находим С=4. Итак, закон движения тела имеет вид х = t² + t³ + 4.

Ответ: х = t² + t³ + 4.

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Решите уравнение: .

2. Решите уравнение: .

3. Найти частное решение дифференциального уравнения , если .

4. Найти частное решение дифференциального уравнения , если .

5. Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из точки М (3;0) со скоростью v=4 t+3 t².

 

Практическая работа № 11.