Алгоритм решения обратной геодезической задачи способом Бесселя

Полагая, что известны геодезические координаты L ₁, B ₁ и L ₂, B ₂ двух точек на эллипсоиде, требуется найти кратчайшее расстояние S между этими точками и азимуты соответствующей геодезической линии: величину А₁₂ в точке с координатами L ₁, B ₁ и величину А′₂₁ во второй точке с координатами L ₂, B ₂. Задача решается в следующем порядке.

Вычисляются значения приведенной широты для обеих точек и величина ΔL = L ₂ – L ₁ разности геодезических долгот. При практическом применении можно воспользоваться формулами вида (5.25) для получения sinu ₁, cosu ₁, sinu ₂, cosu ₂.

Далее следует определить разность сферических долгот Δλ по разности геодезических долгот Δ L, связанных уравнением (5.24). После этого возможно решить задачу на сфере и пересчитать расстояния на эллипсоид. Однако, чтобы воспользоваться уравнением (5.24), следует предварительно получить значения σ, A ₀ и σ₁, которые, в свою очередь, зависят от искомых величин S и A ₁₂. Поэтому уравнение (5.24) решается методом последовательных приближений. Укажем несколько способов решения.

Первый способ:

На первом шаге в предположении, что Δl = Δ L, находится нулевое приближение величины σ. Для этого используются формулы сферической тригонометрии вида (4.13):

                               (5.28)

Правые части уравнений обозначим соответственно p, q, n. Тогда:

;        .                                (5.29)

На основании уравнения (5.26) вычисляется первое приближение sin A ₀ и cos² A ₀:

;  .                  (5.30)

На втором шаге определяется первое приближение разности долгот (5.24):

                   Δλ = Δ L + sin A ₀ ·K _α·σ,

причем коэффициент K _α вычисляется по формуле (5.23).

Вычисляются уточненные значения σ и A ₀ с помощью формул вида (5.28)-(5.30), а значение σ₁ из формулы (5.15):

.

Окончательно значение для Δλ определится по полной формуле (5.24):

.

Полученные значения приведенных широт u ₁, u ₂ и разности долгот Δ L определяют положение дуги большого круга (ортодромии), являющейся Бесселевым изображением геодезической линии. Азимуты этих линий равны, поэтому для определения угла А ₂₁ можно использовать формулы сферической тригонометрии вида (5.13) и определять А ₂₁ аналогично определению А ₁₂:

.

Расстояние между заданными точками вычисляется с помощью формулы (5.21):

.

Второй способ:

По формулам (5.25) вычисляются значения приведенных широт исходной и конечной точек. Разность сферических долгот определяется в виде Δl = Δ L + d l.

Дальнейшие вычисления проводятся методом последовательных приближений. На первом шаге d l = 0. Далее по формулам (5.28)-(5.30) вычисляются A ₁₂, cos² A ₀ и из уравнения (5.28) получается

 

Вычисляются коэффициенты K _α и K _β и поправка δλ. Для эллипсоида Красовского соответствующие формула имеют вид:

Вычисления проводятся итерационно, пока изменения dl не станут меньше 0,5×10^-8 (радиан, т.е. около 0,01 угловой секунды – не более 30 см на поверхности).

Далее вычисляются коэффициенты и значения дальности и углов:

 

Третий способ (Винсента):

По формулам (5.41) вычисляются значения приведенных широт исходной и конечной точек. Разность сферических долгот определяется в виде Δl = Δ L + d l.

Дальнейшие вычисления проводятся методом последовательных приближений. На первом шаге d l = 0. Из уравнения (5.28):

;                         (5.31)

Далее вычисляются:

; ;

;

,    где a - сжатие;

. (5.32)

Вычисления проводятся итерационно, пока изменения dl не станут меньше 0,5×10^-8.

Далее вычисляются коэффициенты и значения дальности и углов:

;   

; 

;

                            (5.33)

 

     

 Алгоритмы решения обратной геодезической задачи косвенным методом

Существуют не итерационные способы вычисления геодезического расстояния, точность которых достаточна для многих задач. Приведем без вывода некоторые из них [7].

Метод Ламберта

По формулам (5.41) вычисляются значения приведенных широт исходной и конечной точек. Разность сферических долгот определяется в виде Δl = Δ L. По формулам (5.28), (5.31) определяются s, sin s, cos s. Далее, учитывая величины большой полуоси земного эллипсоида a и его сжатия a, вычисляются вспомогательные параметры и искомая дальность S:

 ;      

;

;                                                                       (5.34)

;

;

.

На расстояниях  до 3000 км этот метод дает ошибку не более 5 м.

Метод Андуайе

Разность сферических долгот по-прежнему определяется в виде Δl = Δ L. Угловое расстояние s на сфере вычисляется по формулам (5.44), но при вычислении p, q, n используются значения геодезических, а не приведенных широт. Далее вычисляются вспомогательные параметры и искомая дальность S:

;

;

;

;                                                                        (5.35)

;

.

На расстояниях до 3000 км этот метод дает ошибку не более 30 м.

Примечание: во всех случаях применения функции arctg() необходимо учитывать знаки числителя и знаменателя аргумента для правильного определения четверти и соответственно величины результирующего параметра. При программировании на языках высокого уровня для автоматического учёта знаков числителя и знаменателя необходимо использовать функцию atan2(x 1, x 2) с двумя аргументами, которая корректно вычисляет значение арктангенса от отношения x 1/ x 2, причем диапазон результата: от –π до π.