Позиционные задачи на эллипсоиде

Позиционные задачи на эллипсоиде

Позиционные задачи по определению углов, расстояний и координат на эллипсоиде достаточно полно изучены в XIX-ХХ вв. К настоящему времени известно большое количество методов и алгоритмов их решения, обеспечивающих различную точность и имеющие разную форму реализации [3, 5, 6, 8]. Методы и алгоритмы решения прямой и обратной геодезической задачи на земном эллипсоиде хорошо известны и описаны в литературе (например, [8]). В основе всех методов лежит понятие геодезической линии эллипсоида, которая, в отличие от плоской ортодромии, является пространственной кривой и описывается системой сложных дифференциальных уравнений, которые не могут быть проинтегрированы в явном виде. Поэтому все решения позиционных задач на эллипсоиде являются приближенными.

Рассмотрим общие принципы и основные алгоритмы решения таких задач.

Метод Ламберта

По формулам (5.41) вычисляются значения приведенных широт исходной и конечной точек. Разность сферических долгот определяется в виде Δl = Δ L. По формулам (5.28), (5.31) определяются s, sin s, cos s. Далее, учитывая величины большой полуоси земного эллипсоида a и его сжатия a, вычисляются вспомогательные параметры и искомая дальность S:

 ;      

;

;                                                                       (5.34)

;

;

.

На расстояниях  до 3000 км этот метод дает ошибку не более 5 м.

Метод Андуайе

Разность сферических долгот по-прежнему определяется в виде Δl = Δ L. Угловое расстояние s на сфере вычисляется по формулам (5.44), но при вычислении p, q, n используются значения геодезических, а не приведенных широт. Далее вычисляются вспомогательные параметры и искомая дальность S:

;

;

;

;                                                                        (5.35)

;

.

На расстояниях до 3000 км этот метод дает ошибку не более 30 м.

Примечание: во всех случаях применения функции arctg() необходимо учитывать знаки числителя и знаменателя аргумента для правильного определения четверти и соответственно величины результирующего параметра. При программировании на языках высокого уровня для автоматического учёта знаков числителя и знаменателя необходимо использовать функцию atan2(x 1, x 2) с двумя аргументами, которая корректно вычисляет значение арктангенса от отношения x 1/ x 2, причем диапазон результата: от –π до π.

Позиционные задачи на эквидистантной поверхности

Практические алгоритмы решения обратной геодезической задачи способом Бесселя

Обратная геодезическая задача для квазиэллипсоида формулируется так же, как и для эллипсоида. Разница в дополнительном элементе .

Позиционные задачи в пространстве вне пределов прямой видимости

позиционные задачи на эллипсоиде

Позиционные задачи по определению углов, расстояний и координат на эллипсоиде достаточно полно изучены в XIX-ХХ вв. К настоящему времени известно большое количество методов и алгоритмов их решения, обеспечивающих различную точность и имеющие разную форму реализации [3, 5, 6, 8]. Методы и алгоритмы решения прямой и обратной геодезической задачи на земном эллипсоиде хорошо известны и описаны в литературе (например, [8]). В основе всех методов лежит понятие геодезической линии эллипсоида, которая, в отличие от плоской ортодромии, является пространственной кривой и описывается системой сложных дифференциальных уравнений, которые не могут быть проинтегрированы в явном виде. Поэтому все решения позиционных задач на эллипсоиде являются приближенными.

Рассмотрим общие принципы и основные алгоритмы решения таких задач.