Практические алгоритмы решения прямой геодезической задачи способом Бесселя

Полагая, что на земном эллипсоиде построена геодезическая линия, азимут А ₁₂ которой в точке А с координатами L ₁ и B ₁ известен, требуется найти геодезические координаты L ₂ и B ₂ другой точки В, принадлежащей этой же линии и отстоящей от точки А на заданное расстояние S (рис. 5.12). Алгоритм решения этой задачи с помощью Бесселева отображения предусматривает следующий порядок действий.

Первый способ:

1. Вычисление приведенной широты исходной точки по заданной геодезической широте:

.

При практическом применении вычисляют

                                    (5.25)

Эти формулы получаются из сравнения уравнений перевода геодезических координат в прямоугольные пространственные и соотношений X = a × cosu, Z = b × sinu.

2. Вычисление вспомогательных величин, используя формулы (5.31), (5.32) и известные значения азимута A ₁₂ и широты u ₁:

; ;

.                                                       (5.26)

Если sinu₁ = 0, то sin2s₁ = 0 и cos2s₁= 1.

5. Вычисление коэффициентов K_A, K _В, K _С, K_α, K_β по формулам (5.20) и (5.23).

4. Вычисление σ по S по формуле (5.22), применяя метод последовательных приближений. На первом шаге . На втором шаге:

.

На третьем шаге и четвертом шаге:

.

При этом используют соотношения:

; 

                .                                                       (5.27)

5. Вычисление координат второй точки. (см. рис. 5.6).

 Из сферического треугольника А₁В₁Р₁ определяется величина

.

Выразив из сферического треугольника А¢₁А₁В₁ косинус дуги А¢₁В₁, далее из прямоугольного сферического треугольника А¢₁В₁В¢₁  определяется косинус дуги А¢₁В¢₁, равной Dl:

.

Отсюда

.

Из сферического треугольника А₁Р₁B₁ определяется

,

величина cos u ₂ выражается из предыдущего уравнения для cos D l.

Используя выражение (1.18), связывающее значения геодезической и приведенной широт точки, вычисляется широта:

.

6. Вычисление поправки dl по формуле:

,

и долготы в соответствии с (5.40):

L ₂ = L ₁ + Dl - dl.

Второй способ:

Вычисления проводятся аналогично первому способу, несколько отличаясь следующем. Вычисляются коэффициенты разложения по формулам, имеющим следующий вид для эллипсоида Красовского:

Первое приближение сферического расстояния вычисляется по формуле:

.

Вычисляется второе приближение. При этом используются уравнения (5.26) и разложение, аналогичное (5.27):

.

Поправка к разности долгот вычисляется по формуле:

.

Широта точки вычисляется по формулам:

,

.

При необходимости, вычисляется азимут продолжения геодезической линии АВ в точке В:

.

Третий способ (Винсента):

Особенности этого способа следующие. Параметры sin u ₁, cos u ₁, sin A ₀, k², cos² A ₀ определяются аналогично основному варианту, в частности:

; .

Вычисляются вспомогательные величины:

, .

Первое приближение углового расстояния на сфере определяется в виде:

, где b – малая полуось земного эллипсоида.

Следующие выражения участвуют в итерационном процессе:

После двух итераций вычисляются координаты:

;

;

, где a - сжатие (a-b)/a,

;

.