Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Прямая геодезическая задача на плоскостиСодержание книги
Поиск на нашем сайте
В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости. Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул (2.7): (2.8)
Обратная геодезическая задача на плоскости Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X1, Y1 и X2, Y2 (рис.2.5).
Рис.2.5
Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 (ΔX = X2 - X1, ΔY = Y2 - Y1), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2. Если Δ X 00 и Δ Y 00, то решаем треугольник по известным формулам: (2.9) (2.10) Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (1.22) находим: (2.11) Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции: определение номера четверти по знакам приращений координат Δ>X и ΔY (рис.1.4-а), вычисление α по формулам связи (1.22) в соответствии с номером четверти. Контролем правильности вычислений является выполнение равенства: (2.12) Если ΔX = 0.0, то S = іΔYі; Если ΔY = 0.0, то S = іΔXі Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль: (2.13) если ΔY => 0o, то α = a,
Прямая угловая засечка Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β1 и β2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.2.6). Рис.2.6
Исходные данные: XA, YA, αAC, Измеряемые элементы: β 1, β2 Неизвестные элементы: X, Y Если αAC и αBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D. Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β2 и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.
Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки: вычислить дирекционные углы линий AP и BP (2.14), (2.15) написать два уравнения прямых линий для линии AP Y - YA= tgα1 * (X - XA), для линии BP Y - YB= tgα2 * (X - XB) (2.16) решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y: (2.17), (2.18) Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β1 и β2 измерены от направлений AB и BA, причем угол β1 - правый, а угол β2 - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.2.7. Рис.2.7
Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой: решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB и длину b линии AB, вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки, (2.19) используя теорему синусов для треугольника APB: (2.20) вычислить длины сторон AP (S1) и BP (S2), вычислить дирекционные углы α1 и α2: (2.21) решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P. Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга: (2.22) От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B BAP = αAB - (αAC + β1) и ABP = (αBD + β2) - αBA. Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия: вычисление дирекционных углов α1 и α2, введение местной системы координат X'O'Y' с началом в пункте A и с осью O'X', направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов α1 и α2 из системы XOY в систему X'O'Y' (рис.2.8): X'A = 0, Y'A = 0, (2.23), запись уравнений линий AP и BP в системе X'O'Y': (2.26) Рис.2.8
и совместное решение этих уравнений: (2.27) перевод координат X' и Y' из системы X'O'Y' в систему XOY: (2.28) Так как Ctgα2' = - Ctgγ и угол засечки γ всегда больше 0о, то решение (2.27) всегда существует.
Линейная засечка От пункта A с известными координатами XA, YA измерено расстояние S1 до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами XB, YB измерено расстояние S2 до точки P. Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S1 (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B - окружность радиусом S2; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис.2.9). Исходные данные: XA, YA, XB, YB, Измеряемые элементы: S1, S2, Неизвестные элементы: X, Y. Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один - для ручного счета (по способу треугольника) и один - для машинного счета.
Рис.2.9
Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий: решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB, вычисление в треугольнике ABP углов β1 и β2 по теореме косинусов: (2.29) вычисление угла засечки γ (2.30) вычисление дирекционных углов сторон AP и BP: пункт P справа от линии AB (2.31) пункт P слева от линии АВ (2.32) решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P: 1-е решение (2.33) 2-е решение (2.34) Результаты обоих решений должны совпадать. Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий: решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB, введение местной системы координат X'O'Y' с началом в точке A и осью O'X', направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X'O'Y': (2.35) запись уравнений окружностей в системе X'O'Y': (2.36) и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого: (2.37) откуда (2.38) и (2.39) Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (2.39) берется знак "-", если справа, то "+". пересчет координат X' и Y' точки P из системы X'O'Y' в систему XOY по формулам (2.2):
Обратная угловая засечка К элементарным измерениям относится и измерение угла β на определяемой точке P между направлениями на два пункта A и B с известными координатами XA, YA и XB, YB (рис.2.10). Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно. Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2β (рис.2.10). Рис.2.10
Расстояние b между пунктами A и B считается известным, и из прямоугольного треугольника FCB можно найти радиус R окружности: (2.41) Уравнение окружности имеет вид: (2.42) где XC и YC - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов A и B на точку C. В уравнении (2.42) X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно. Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам β1 и β2, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис.2.11). Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β1 и β2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж. Исходные данные: XA, YA, XB, Измеряемые элементы: β1, β2. Неизвестные элементы: X, Y. Рис.2.11
Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек. Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P (рис.2.11). Радиусы этих окружностей получим по формуле (2.41): (2.43) Если координаты центров окружностей - точек O1 и O2 будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1 по расстоянию R1 и из точки O2 - по расстоянию R2. Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла β1: если β1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если β1>90o, то точка O1 находится слева от линии AB. Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если β2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если β2>90o, то точка O2 находится слева от линии BC. Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.
Комбинированные засечки В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата. На практике для нахождения координат X и Y одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений расстояний и углов, причем эти измерения выполняются как на исходных пунктах, так и на определяемых; такие засечки называются комбинированными. Понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи. Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными. При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют методом уравнивания. Алгоритмы строгого уравнивания многократных засечек применяются при автоматизированном счете на ЭВМ; для ручного счета используют упрощенные способы уравнивания. Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки (n измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно n-1), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.
Ошибка положения точки В одномерном пространстве (на линии) положение точки фиксируется значением одной координаты X, и ошибка положения точки Mp равна средней квадратической ошибке mx этой координаты. Истинное положение точки может находиться в интервале (X - t * mx) - (X + t * mx), то-есть, в обе стороны от значения X; на практике коэффициент t обычно задают равным 2.0 или 2.50. В двумерном пространстве (на поверхности) положение точки фиксируется значениями двух координат, и ошибка положения точки должна задаваться двумя величинами: направлением и ошибкой положения по этому направлению. Геометрическая фигура, внутри которой находится истинное положение точки, может иметь разную форму; в частном случае, когда ошибка положения точки по всем направлениям одинакова, получается круг радиуса R = Mp. Положение точки по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния S линией положения является окружность радиуса S с центром в исходной пункте A (рис.2.12а); для измеренного угла β с вершиной в исходном пункте A - прямая линия, проведенная под углом β к исходной линии AB (рис.2.12б). Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие "полоса положения". Для расстояния S, измеренного со средней квадратической ошибкой ms - это круговой пояс (кольцо) шириной 2 * ms между двумя окружностями радиусами (S - ms) и (S + ms); для угла β, измеренного с ошибкой mβ - это узкий треугольник с вершиной в точке A и углом при вершине 2 * mβ. Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис.2.12).
Рис.2.12. Линия положения и "полоса положения" точки P:
Введем понятие "вектор ошибки измерения" и обозначим его через V. Для измеренного расстояния вектор Vs направлен вдоль линии AP (прямо или обратно) и имеет модуль vs = ms; для измеренного угла вектор Vβ направлен перпендикулярно линии AP (влево или вправо от нее) и имеет модуль νβ = S * mβ / ρ, где S = A * P. Точка P, находясь на пересечении двух линий положения, является центром 4-угольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис.2.13).
Рис.2.13. 4-угольник положения: а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке,
Этот элементарный 4-угольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла - отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки P до границ 4-угольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки P по разным направлениям. Линии положения делят 4-угольник положения на 4 равные части (рис.2.14-а), которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах γ и (180o - γ), где γ(180o - γ) - угол между векторами ошибок V1 и V2. Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов ν1 и ν2, то стороны параллелограммов получаются по известным формулам (рис.2.14-а): (2.44) Рис.2.14
По известным сторонам параллелограмма ошибок и углу между ними γ(180o - γ) можно вычислить длину обоих его диагоналей: короткой - d1 и длинной - d2: Таким образом, ошибка положения точки по шести направлениям (рис.2.14) выражается простыми формулами; для всех остальных направлений формулы будут более сложные. Для обобщенной характеристики точности определения точки P нужно иметь некоторое усредненное значение ошибки положения точки P, которое можно вычислить: как радиус круга R, площадь которого (π * R2) равна площади параллелограмма положения точки P (4 * a * b * Sinγ), (2.45) как ошибку положения по "наиболее слабому направлению", совпадающему с направлением длинной диагонали: (2.46) как среднее квадратическое из длинной и короткой диагоналей параллелограмма ошибок: (2.47) На практике чаще других применяется третий вариант, в котором легко получаются формулы для оценки точности любой однократной засечки: полярная засечка (рис.2.4): (2.48) прямая угловая засечка (рис.2.6, 2.7): (2.49) линейная засечка (рис.2.9): (2.50) обратная угловая засечка (рис.2.11). В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки P должна содержать три слагаемых: ошибку линейной засечки точки О1 с исходных пунктов A и B (mO1), ошибку линейной засечки точки О2 с исходных пунктов B и C (mO2), ошибку линейной засечки точки P с точек О1 и О2 (mP), (2.50a) Угол засечки γ зависит от взаимного расположения линий BC и BA и углов β1 и β2; для рис.2.11 этот угол вычисляется по формуле: (2.51) Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки P находится внутри круга радиуса MP с центром в точке P. В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как "эллипс ошибок" (кривая 2-го порядка), "подера эллипса ошибок" (кривая 4-го порядка) и др. [22]. При количестве измерений n>2 (многократные засечки) точка P получается в пересечении n линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют 2 * n-угольник (рис.2.14-б). Наибольшая ошибка положения точки P будет определяться расстоянием от точки P до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника. Из рисунка 2.14-б понятна роль третьего измерения в уменьшении ошибки положения точки P; кстати, на этом рисунке второе измерение практически не влияет на значение ошибки положения точки.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-29; просмотров: 1203; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.41.109 (0.007 с.) |