Прямая геодезическая задача на плоскости

 

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул (2.7):

(2.8)

 

 

Обратная геодезическая задача на плоскости

Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X1, Y1 и X2, Y2 (рис.2.5).

 

Рис.2.5

 

Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 (ΔX = X2 - X1, ΔY = Y2 - Y1), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2.

Если Δ X 00 и Δ Y 00, то решаем треугольник по известным формулам:

(2.9)

(2.10)

Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (1.22) находим:

(2.11)

Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции:

определение номера четверти по знакам приращений координат Δ>X и ΔY (рис.1.4-а),

вычисление α по формулам связи (1.22) в соответствии с номером четверти.

Контролем правильности вычислений является выполнение равенства:

(2.12)

Если ΔX = 0.0, то

S = іΔYі;
и α = 90o 00' 00" при ΔY > 0,
α = 270o 00' 00" при ΔY < 0.

Если ΔY = 0.0, то

S = іΔXі
и α = 0o 00' 00" при ΔX > 0,
α = 180o 00' 00" при ΔX < 0.

Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль:

(2.13)

если ΔY => 0o, то α = a,
если ΔY < 0o, то α = 360o - a.

 

 

Прямая угловая засечка

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β1 и β2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.2.6).

Рис.2.6

 

Исходные данные: XA, YA, αAC,
XB, YB, αBD

Измеряемые элементы: β 1, β2

Неизвестные элементы: X, Y

Если αAC и αBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D.

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β2 и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

 

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:

вычислить дирекционные углы линий AP и BP

(2.14),

(2.15)

написать два уравнения прямых линий

для линии AP Y - YA= tgα1 * (X - XA),

для линии BP Y - YB= tgα2 * (X - XB) (2.16)

решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:

(2.17),

(2.18)

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β1 и β2 измерены от направлений AB и BA, причем угол β1 - правый, а угол β2 - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.2.7.

Рис.2.7

 

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:

решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB и длину b линии AB,

вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки,

(2.19)

используя теорему синусов для треугольника APB:

(2.20)

вычислить длины сторон AP (S1) и BP (S2),

вычислить дирекционные углы α1 и α2:

(2.21)

решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P.

Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:

(2.22)

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B

BAP = αAB - (αAC + β1) и ABP = (αBD + β2) - αBA.

Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:

вычисление дирекционных углов α1 и α2,

введение местной системы координат X'O'Y' с началом в пункте A и с осью O'X', направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов α1 и α2 из системы XOY в систему X'O'Y' (рис.2.8):

X'A = 0, Y'A = 0,

(2.23),
(2.24),

запись уравнений линий AP и BP в системе X'O'Y':

(2.26)

Рис.2.8

 

и совместное решение этих уравнений:

(2.27)

перевод координат X' и Y' из системы X'O'Y' в систему XOY:

(2.28)

Так как Ctgα2' = - Ctgγ и угол засечки γ всегда больше 0о, то решение (2.27) всегда существует.

 

 

Линейная засечка

От пункта A с известными координатами XA, YA измерено расстояние S1 до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами XB, YB измерено расстояние S2 до точки P.

Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S1 (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B - окружность радиусом S2; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис.2.9).

Исходные данные: XA, YA, XB, YB,

Измеряемые элементы: S1, S2,

Неизвестные элементы: X, Y.

Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один - для ручного счета (по способу треугольника) и один - для машинного счета.

 

Рис.2.9

 

Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий:

решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,

вычисление в треугольнике ABP углов β1 и β2 по теореме косинусов:

(2.29)

вычисление угла засечки γ

(2.30)

вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:

пункт P справа от линии AB

(2.31)

пункт P слева от линии АВ

(2.32)

решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P:

1-е решение

(2.33)

2-е решение

(2.34)

Результаты обоих решений должны совпадать.

Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий:

решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,

введение местной системы координат X'O'Y' с началом в точке A и осью O'X', направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X'O'Y':

(2.35)

запись уравнений окружностей в системе X'O'Y':

(2.36)

и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого:

(2.37)

откуда

(2.38)

и

(2.39)

Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (2.39) берется знак "-", если справа, то "+".

пересчет координат X' и Y' точки P из системы X'O'Y' в систему XOY по формулам (2.2):

 

 

Обратная угловая засечка

К элементарным измерениям относится и измерение угла β на определяемой точке P между направлениями на два пункта A и B с известными координатами XA, YA и XB, YB (рис.2.10). Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно.

Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2β (рис.2.10).

Рис.2.10

 

Расстояние b между пунктами A и B считается известным, и из прямоугольного треугольника FCB можно найти радиус R окружности:

(2.41)

Уравнение окружности имеет вид:

(2.42)

где XC и YC - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов A и B на точку C. В уравнении (2.42) X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам β1 и β2, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис.2.11).

Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β1 и β2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.

Исходные данные: XA, YA, XB,
YB, XC, YC;

Измеряемые элементы: β1, β2.

Неизвестные элементы: X, Y.

Рис.2.11

 

Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек.

Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P (рис.2.11). Радиусы этих окружностей получим по формуле (2.41):

(2.43)

Если координаты центров окружностей - точек O1 и O2 будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1 по расстоянию R1 и из точки O2 - по расстоянию R2.

Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла β1: если β1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если β1>90o, то точка O1 находится слева от линии AB.

Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если β2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если β2>90o, то точка O2 находится слева от линии BC.

Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.

 

 

Комбинированные засечки

В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата.

На практике для нахождения координат X и Y одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений расстояний и углов, причем эти измерения выполняются как на исходных пунктах, так и на определяемых; такие засечки называются комбинированными. Понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи.

Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными.

При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют методом уравнивания. Алгоритмы строгого уравнивания многократных засечек применяются при автоматизированном счете на ЭВМ; для ручного счета используют упрощенные способы уравнивания.

Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки (n измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно n-1), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.

 

 

Ошибка положения точки

В одномерном пространстве (на линии) положение точки фиксируется значением одной координаты X, и ошибка положения точки Mp равна средней квадратической ошибке mx этой координаты. Истинное положение точки может находиться в интервале (X - t * mx) - (X + t * mx), то-есть, в обе стороны от значения X; на практике коэффициент t обычно задают равным 2.0 или 2.50.

В двумерном пространстве (на поверхности) положение точки фиксируется значениями двух координат, и ошибка положения точки должна задаваться двумя величинами: направлением и ошибкой положения по этому направлению. Геометрическая фигура, внутри которой находится истинное положение точки, может иметь разную форму; в частном случае, когда ошибка положения точки по всем направлениям одинакова, получается круг радиуса R = Mp.

Положение точки по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния S линией положения является окружность радиуса S с центром в исходной пункте A (рис.2.12а); для измеренного угла β с вершиной в исходном пункте A - прямая линия, проведенная под углом β к исходной линии AB (рис.2.12б).

Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие "полоса положения". Для расстояния S, измеренного со средней квадратической ошибкой ms - это круговой пояс (кольцо) шириной 2 * ms между двумя окружностями радиусами (S - ms) и (S + ms); для угла β, измеренного с ошибкой mβ - это узкий треугольник с вершиной в точке A и углом при вершине 2 * mβ. Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис.2.12).

 

Рис.2.12. Линия положения и "полоса положения" точки P:

а) для измеренного расстояния, б) для измеренного угла.

Введем понятие "вектор ошибки измерения" и обозначим его через V. Для измеренного расстояния вектор Vs направлен вдоль линии AP (прямо или обратно) и имеет модуль vs = ms; для измеренного угла вектор Vβ направлен перпендикулярно линии AP (влево или вправо от нее) и имеет модуль νβ = S * mβ / ρ, где S = A * P.

Точка P, находясь на пересечении двух линий положения, является центром 4-угольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис.2.13).

 

Рис.2.13. 4-угольник положения: а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке,

 

Этот элементарный 4-угольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла - отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки P до границ 4-угольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки P по разным направлениям.

Линии положения делят 4-угольник положения на 4 равные части (рис.2.14-а), которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах γ и (180o - γ), где γ(180o - γ) - угол между векторами ошибок V1 и V2. Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов ν1 и ν2, то стороны параллелограммов получаются по известным формулам (рис.2.14-а):

(2.44)

Рис.2.14

 

По известным сторонам параллелограмма ошибок и углу между ними γ(180o - γ) можно вычислить длину обоих его диагоналей: короткой - d1 и длинной - d2:

Таким образом, ошибка положения точки по шести направлениям (рис.2.14) выражается простыми формулами; для всех остальных направлений формулы будут более сложные.

Для обобщенной характеристики точности определения точки P нужно иметь некоторое усредненное значение ошибки положения точки P, которое можно вычислить:

как радиус круга R, площадь которого (π * R2) равна площади параллелограмма положения точки P (4 * a * b * Sinγ),

(2.45)

как ошибку положения по "наиболее слабому направлению", совпадающему с направлением длинной диагонали:

(2.46)

как среднее квадратическое из длинной и короткой диагоналей параллелограмма ошибок:

(2.47)

На практике чаще других применяется третий вариант, в котором легко получаются формулы для оценки точности любой однократной засечки:

полярная засечка (рис.2.4):

(2.48)

прямая угловая засечка (рис.2.6, 2.7):

(2.49)

линейная засечка (рис.2.9):

(2.50)

обратная угловая засечка (рис.2.11).

В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки P должна содержать три слагаемых:

ошибку линейной засечки точки О1 с исходных пунктов A и B (mO1),

ошибку линейной засечки точки О2 с исходных пунктов B и C (mO2),

ошибку линейной засечки точки P с точек О1 и О2 (mP),

(2.50a)

Угол засечки γ зависит от взаимного расположения линий BC и BA и углов β1 и β2; для рис.2.11 этот угол вычисляется по формуле:

(2.51)

Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки P находится внутри круга радиуса MP с центром в точке P. В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как "эллипс ошибок" (кривая 2-го порядка), "подера эллипса ошибок" (кривая 4-го порядка) и др. [22].

При количестве измерений n>2 (многократные засечки) точка P получается в пересечении n линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют 2 * n-угольник (рис.2.14-б). Наибольшая ошибка положения точки P будет определяться расстоянием от точки P до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника. Из рисунка 2.14-б понятна роль третьего измерения в уменьшении ошибки положения точки P; кстати, на этом рисунке второе измерение практически не влияет на значение ошибки положения точки.