Вычисление эллиптических интегралов при решении геодезических задач

Полученные выражения (5.13) и (5.14) могут быть использованы для численного определения с любой заданной точностью расстояний между двумя точками на эллипсоиде. Использование других способов отображения эллипсоида на сферу (например, по нормалям) приведет к появлению других выражений, основой которых, тем не менее, будут аналогичные эллиптические интегралы. Выбор метода численного интегрирования также будет приводить к появлению различных алгоритмов.

Рассмотрим один из возможных способов вычисления неберущихся эллиптических интегралов при решении геодезических задач на эллипсоиде [8]. Оставляя прежние обозначения элементов полярного сферического треугольника А₁В₁Р₁ (рис. 5.6), выполним вспомогательные построения, показанные на рис. 5.6: проведем из точки Р₁ дугу большого круга перпендикулярно к продолжению стороны А₁В₁ до пересечения с ней в точке С₁.

Рис. 5.6. К вычислению эллиптических интегралов

В образовавшемся прямоугольном сферическом треугольнике А₁С₁Р₁ обозначим длину катета С₁Р₁ через m, а длину катета А₁С₁ – через (π/2 – s₁).

При заданных значениях приведенной широты  и азимута (равного a₁₂) величины m и s₁ легко отыщутся из решения прямоугольного треугольника А₁С₁Р₁ относительно величин cos m, sin m, tgσ₁:

;

а с учетом уравнения        

выражение для cos m запишется в виде:

;

;               (5.15)

По построению точка С₁ – это точка вертекса ортодромии, проходящей через точки А₁ и В₁, следовательно, длина дуги D₁C₁ составляет четверть длины окружности, а угловая мера дуги D₁C₁ равна π/2. Это означает, что введенная выше величина s₁ есть не что иное, как угловая мера дуги D₁А₁. У треугольника D₁C₁ P₁  стороны D₁C₁ и D₁ P₁  равна π/2 следовательно, угловая мера дуги m равна углу A ₀ (азимут геодезической линии в точке D₁ пересечения ее с экватором). То же подтверждается при сопоставлении четвертого уравнения (5.15) и уравнения теоремы Клеро в виде (5.9), из которого следует

sin m = sinA _o,                                                          (5.16)

Заменим m на A ₀.

Будем рассматривать точку В₁ как текущую, имеющую широту . Из прямоугольного сферического треугольника В₁С₁Р₁ имеем:

,

.

Подставив выражение для  в (5.29), получим

или

.

Приняв во внимание формулы (1.0) вида  и , перепишем подынтегральное выражения (5.13) как:

.

Или, после введения обозначения

                                                                                      (5.17)

получаем

.                                                      (5.18)

Разложим подкоренное выражение в биноминальный ряд с целью последующего почленного интегрирования:

 .

Не теряя общности, с целью получения практически пригодных формул в дальнейших выкладках ограничимся членами, имеющими порядок малости . Заменяя синусы четных степеней через косинусы кратных дуг на основании известных соотношений:

получим

.

(5.19)

Обозначив:

                                                                    (5.20)

на основании (5.18) - (5.20) получим для интеграла (5.13):

.                                  

Осуществляя почленное интегрирование, получим:

. (5.21)

Обратная зависимость σ от S имеет вид:

.        (5.22)

Для вычисления интеграла (5.14) предварительно выразим d λ через d σ. Для этого выражение , полученное из рассмотрения прямоугольного сферического треугольника А₁С₁Р₁, подставим во второе уравнение (5.10):

.                                                                   

Раскладывая в ряд подынтегральное выражение (5.14) и частично заменяя d λ, получаем:

Заменяя с помощью формулы  переменную  на переменную  и используя выражения для , перепишем (5.14) в виде:

и, осуществляя почленное интегрирование, получим:

.

Обозначив

                                                  (5.23)

Получим  окончательно

.                                      (5.24)

Формулы (5.22) и (5.24) используются при решении прямой геодезической задачи. При этом вычисление величины σ по известной величине S с помощью формулы (5.22) ведется методом последовательных приближений.

Формулы (5.21) и (5.24) используются при решении обратной геодезической задачи. При этом вычисление Dl ведется методом последовательных приближений. Первое приближение Dl = DL, затем вычисляется σ и уточняется Dl и так далее. Вычисления продолжают до совпадения результатов вычислений двух последних приближений в пределах заданной точности.