Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта

Пусть дана не ортогональная система векторов . Первый вектор возьмём из старой системы без изменения . Теперь мы должны найти второй вектор , так чтобы он был ортогонален . К вектору  нужно прибавить , домноженный на какой-то коэффициент, чтобы подвинуть конец вектора  таким образом, чтобы новый изменённый вектор стал ортогонален . Чертёж:

, причём . Тогда

 то есть , тогда .

Таким образом, .

Далее, рассмотрим вектор , он также изначально может быть не ортогонален векторам  и , необходимо прибавить к нему линейную комбинацию, состоящую из них. Ищем в виде , причём так, чтобы было выполнено  и .

 

, причём  так как эта часть системы уже была построена как ортогональная (на прошлом шаге).

Тогда .

Аналогично  означает, что .

Итак, . Теперь все 3 вектора  ортогональны между собой. Аналогично этот процесс можно продолжить и для n векторов.

 

Пример.  Ортогонализовать систему векторов (1,1), (0,2).

 , .

.     = . 

 =  =

 

Лекция 14. 26.12.2020.

 

Ортогональные матрицы. Пусть новый базис также ортонормированный, тогда матрица перехода обладает следующими свойствами:

1) сумма квадратов всех элементов любого столбца равна 1.

2) скалярное произведение двух различных векторов-столбцов = 0.

.

Такая матрица называется ортогональной матрицей.

Лемма. Если  ортогональная матрица, то . 

(Объём параллелепипеда, построенного на ортонормированной системе, равен 1).

Теорема. Если  ортогональная матрица, то .

Доказательство. Умножим

 =

Строка в первой матрице, это бывший столбец (до транспонирования). Таким образом, умножая -ю строку на -й столбец, мы получаем . А если -ю строку умножаем на -й столбец, то это то же самое, что скалярно умножить друг на друга -й столбец на -й столбец в исходной матрице, а это .

Тогда , а значит, транспонированная матрица это и есть обратная, что и требовалось доказать. 

 

Примером такой матрицы является матрица оператора поворота: , здесь можно устно проверить, что сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1 (по основному тригонометрическому тождеству), а скалярное произведение 1-го и 2-го столбцов 0. Чтобы найти обратную к ней матрицу, достаточно лишь транспонировать её.  

 

Ещё примеры ортогональных матриц.

, .  

 

Аффинное пространство.

Пусть  - линейное пространство,  - некоторое множество точек, при этом каждой упорядоченной паре точек   можно поставить в соответствие элемент . Упорядоченную пару точек будем называть вектором, обозначать .

Получается, что заданы отображения ,  .

По точке и вектору можно построить 2-ю точку, а по 2 точкам вектор.   

Если выполняются следующие условия:

1)  существует единственный   такой, что .  

2) .

3)  .

то построенная таким образом структура называется аффинным пространством.

Для любых точек  имеет место равенство .

2 типа линейных комбинаций.

Барицентрическая комбинация (сумма коэффициентов равна 1). Результат – точка из . Например, , середина отрезка.

Множество точек  наз. аффинно-независимым, если никакую из них нельзя представить в виде барицентрической комбинации остальных. 

P = kM+(1-k)N (3-я точка на прямой, MN) – аффинно-зависима.

Сбалансированная комбинация (сумма коэффициентов равна 0).

Результат – вектор . Например, . 

Метрическое пространство

Пусть  - некоторое множество точек. Если каждой паре точек  поставлено в соответствие некоторое число , называемое расстоянием между точками и удовлетворяющее аксиомам:

1) , причём из   следует ,

2)  ,

3) . (аксиома треугольника).

То множество   называется метрическим пространством.   

Если пространство евклидово, то можно превратить в метрическое: 

.

  

Элементы векторной алгебры.

Скалярное, векторное, смешанное произведение.

Скалярное произведение  .

А сейчас мы научимся с помощью матриц и определителей находить общий перпендикуляр для пары векторов.

Векторное произведение.

Определение.

Вектор  называется векторным произведением векторов , обозначается , если выполнены 3 условия: 1) , . 

2) Векторы  образуют правоориентированную тройку, то есть с конца вектора  кратчайший поворот от  к  виден против часовой стрелки.

3) параллелограмма, образованного парой векторов , то есть .

 

Таблица свойств скалярного и векторного произведений: сходство и различия.

 

 

Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя: Можно записать в 1-ю и 2-ю строку исходные два вектора, в третьей строке добавить произвольные обозначения осей , и вычислить этот определитель.

 = .

Миноры порядка 2  будут координатами нового вектора, который является векторным произведением.

Доказательство.

1) Получающийся таким образом вектор ортогонален двум исходным:

Если скалярно умножить на , получим:

 =  = 0.

Если скалярно умножить на , получим:

 =  = 0.

Докажем также тот факт, что .  

Квадрат модуля векторного произведения равен сумме квадратов миноров координат такого вектора:

То есть величине  =

 =

 +   
+ .

В то же время   =   =   =  =

=

+  +  +

.

Сократив то, что выделено в больших скобках, получаем одно и то же выражение.

- - - Перерыв - - -

Пример. Найти векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3)

 =  = . Ответ (1,-2,1).

Также можно проверить, что он действительно перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0).

Примечание. Определитель можно вычислять либо разложением по 3-й строке, либо ранее известными методами, в том числе добавить копии двух первых столбцов справа.

 

Пример без координат (по свойствам).

Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 градусов. Найти | [a,b] |. 

Решение. = =   

=  =  = . Модуль векторного произведения и  это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так:

 =  =  = 50.    Ответ. 50.

 

Смешанное произведение. Определяется так: .

Этот объект корректно определён и существует: векторное произведение первой пары есть какой-то вектор, и его можно скалярно умножить на ещё один, третий вектор, в итоге получится константа.

Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя так: .

Обоснование: Если рассмотреть разложение этого определителя по третьей строке, то получится , то есть 1-я координата векторного произведения   умножается на 1-ю координату вектора , 2-я на 2-ю и т.д. то есть это и есть .

Геометрический смысл: объём параллелепипеда, образованного тремя векторами.