Геометрический смысл систем линейных уравнений.

Каждое из уравнений задаёт некоторую прямую в плоскости.

Система несовместна:	Система совместна:
прямые  параллельны	определённая неопределённая, прямые пересекаются прямые совпадают

Система из 2 уравнений на 3 неизвестных:

Каждое уравнение задаёт плоскость в пространстве.

Определённой система быть не может, так как , тогда .

Система несовместна:	Система совместная, неопределённая:
плоскости  параллельны	плоскости пересекаются по прямой плоскости совпадают

       Две плоскости пересекаются по прямой, а что есть пересечение двух 3-мерных пространств в 4-мерном? Плоскость или прямая? Представить наглядно мы это себе не можем, однако тут на помощь геометрии приходит абстрактная алгебра: системы линейных уравнений. С их помощью ответить на данный вопрос очень легко. Если уравнения двух пространств:

то очевидно, что ранг основной и расширенной матриц либо 1, либо 2.

       Если ранг основной и расширенной матриц равен 2, то  свободных переменных. Тогда пересечение 2-мерно.

       Если ранг основной и расширенной матриц равен 1, то тогда есть 3 свободных переменных, то есть эти пространства совпадают.

       Если ранг основной матрицы 1, а расширенной 2, то решений нет, и они параллельны, (нет ни одной общей точки).

       Таким образом, два 3-мерных пространства не могут пересекаться по прямой или в точке, так же, как две плоскости не могут пересекаться в точке. Пространства пересекаются по плоскости.

3 трёхмерных пространства пересекаются по прямой: основная матрица 3*4, одна свободная переменная.

Лекция 10. 12.12.2020.

Глава 4. Линейные пространства.

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

 

В главе 1 мы ввели определение линейного пространства:

Определение. Абелева группа   называется линейным пространством над полем , если задана внешняя операция (умножение на константу) , и верны такие свойства для внешней операции умножения : 1) . 2)        (ассоциативность) 3а)    3б) . (дистрибутивность)

Теперь, когда нами изучены главы «матрицы» и «системы линейных уравнений», можем изучить различные свойства линейных и векторных пространств.

 

Применение понятия ранга к построению уравнений прямых и плоскостей.

Вывод уравнения прямой на плоскости по точке и направляющему вектору.

Пусть задана точка  с координатами  и направляющий вектор  с координатами . Поставим произвольную точку  на прямой. Тогда система векторов  и  является линейно-зависимой, значит, определитель равен 0: 

 

Координаты векторов  и  пропорциональны.

Пропорция   называется «каноническое уравнение прямой».