Однородные системы линейных уравнений.

Лекция 9. 07.12.2020.

Однородные системы линейных уравнений.

Если в каждом уравнении правая часть , такая система называется однородной.

Расширенная матрица содержит столбец, состоящий только из 0, то есть ранг расширенной матриц точно не больше, чем ранг основной! По теореме Кронекера-Капелли получается, что однородная система всегда совместна, то есть существует хотя бы одно решение.

Заметим, что при подстановке всех 0 вместо неизвестных, , все равенства автоматически выполняются, т.е. нулевое решение для такой системы всегда существует. Оно называется тривиальным решением. Тривиальное решение может быть не единственным, возможно, есть ещё какие-то наборы чисел, которые можно подставить в систему. Основной задачей для однородных систем как раз и является поиск ненулевых решений.

Нетривиальные решения есть, например:

 решения (1,1), (2,2), и т.д.

Любое (С,С) для  есть решение.

Здесь ранг равен 1, и 2-я переменная свободная.

 А здесь ранг основной матрицы равен 2. , базисный минор фактически заполняет всю основную матрицу, до правого края, в этом случае нет свободных переменных. Решение только тривиальное.

Если решать методом Гаусса, то получим  тогда , и отсюда . После приведения к треугольному виду, последняя неизвестная получится 0, за ней и предпоследняя и т.д. Если матрица невырожденная, то решение единственно, но поскольку обязательно существует тривиальное, то единственное оно и есть тривиальное (все нули), других решений нет. Итак, сформулируем обнаруженный нами факт в виде теоремы:

 

Теорема 1.

1) Система линейных однородных уравнений имеет нетривиальные решения .

2) Система линейных однородных уравнений с квадратной основной матрицей  имеет нетривиальные решения .

Доказательство.

Система имеет решение, отличное от нуля  для столбцов основной матрицы выполняется равенство  при некотором наборе ненулевых коэффициентов  система  является линейно зависимой  ранг системы векторов строго меньше  ранг матрицы  строго меньше .

Итак, однородная система с квадратной основной матрицей имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда основная матрица вырожденная.

 

Следствия из теоремы о наложении решений:

Теорема 2. Линейная комбинация решений однородной системы тоже является  решением (множество решений образует линейное пространство).

Доказательство. Дано , , тогда .

 

Теорема 3. Сумма решений неоднородной и соответствующей однородной системы есть решение неоднородной системы.

Доказательство.   Пусть решение неоднородной системы,   - решение соответствующей однородной системы (с той же основной матрицей, но 0 в правой части).

, , тогда .

Следствие. Разность двух различных частных решений неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы.

Геометрический смысл. Если взять разность двух радиус-векторов, проведённых к точкам какой-либо прямой, не проходящей через начало координат, получится вектор, лежащий на параллельной прямой, проходящей через начало координат.

 

Доказательство.

1) Если ранг основной матрицы равен , то  свободных переменных переносятся вправо, тогда можно построить по крайней мере не меньше, чем  линейно-независимых решений, присваивая поочерёдно значение 1 каждой из свободных переменных (а остальным в это время 0).

Существует такая система решений:

 

 

 

 

...

 

Данная система линейно независима, так как объединяя их в матрицу, увидим, что в её последних  столбцах будет минор, устроенный как единичная матрица , т.е. заведомо ненулевой, равный 1. 

2) Докажем, что любое другое решение будет их линейной комбинацией.  Рассмотрим последние  координат произвольного решения.

 Пусть  - решение однородной системы.

Линейная комбинация решений:

  тоже является решением.

Но на последних n-r местах она содержит 0, а числа, отличные от 0 на первых r местах. Но тогда первые r столбцов образовали бы ЛЗС – было бы противоречие. Тогда единственная возможность:  нулевой вектор.

Тогда , то есть новое решение можно представить в виде такой линейной комбинации ранее найденных  решений. 

Таким образом, существует не меньше, но и не больше, чем  различных линейно-независимых решений.

 

Определение. Данная система, состоящая из  линейно-независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы уравнений.

Пример. (, ).   Решить однородную систему:

Решение. Если преобразовывать расширенную матрицу, то получим:

Видим, что справа всё равно как был, так и остаётся столбец из нулей, так что в будущем для однородных систем можно использовать только основную матрицу, ведь расширенная не несёт никакой новой информации, всё равно там справа нулевой столбец, и он не меняется при преобразованиях строк.

Итак, получили систему  базисный минор можно заметить в первых двух столбцах, так что  свободная переменная, переносим её вправо: . Теперь последовательно выражаем через свободную переменную две базисные переменные.

Из 2-го: , а подставляя в 1-е, получим

, т.е. .

Общее решение системы: .  

Также записывается в виде вектора: .

Частные решения: , , , и т.д.

То есть все тройки чисел будут пропорциональны какой-то одной.

ФСР (фундаментальная система решений). ФСР состоит из одного вектора .

Ответ. Общее решение , ФСР .

Пример. (, ).  Решить систему уравнений: 

Базисный минор порядка 2 можно найти в левом углу, тогда считаем, что 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. . 

 уже фактически выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить .

.

Общее решение: { , }.

Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.

.

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это  частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения: любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.

Например, их сумма  также является решением системы.

Примечание. При решении системы в прошлой задаче, со следующей стадии:  может использоваться и метод Крамера.

 = .

 = .

 

* Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа . А для однородной системы справа констант нет (они 0), но туда перенесены свободные переменные. Т.е.  решение методом Гаусса во всех этих 3 параграфах выполняется похожим образом, только справа разные типы объектов.

 

Лекция 10. 12.12.2020.

Теорема о замене.

Пусть в пространстве  над полем  заданы 2 системы векторов:

(1) и   (2). Если каждый вектор системы (1) линейно выражается через систему (2), то будет говорить, что система (1) выражается через (2), обозначается . 

Если  и , то системы (1) и (2) называются эквивалентными, . 

Свойства эквивалентности:

1) .  

2) если  то .

3) если  и , то .

Лемма. Если  и вектор , то .

Доказательство.

Если , то . Но при этом , а значит, , то есть каждый вектор системы (1) можно представить в виде линейной комбинации векторов (2).

Тогда  а в таком случае, можно перегруппировать слагаемые и получить

, то есть .

Теорема о замене (Штейница). Пусть в пространстве  над полем  заданы 2 системы векторов:   (1) и   (2).  Пусть система (1) линейно независима и линейно выражается через (2). Тогда:   1) ;    

2) Из системы (2) можно удалить  векторов, так, что оставшиеся векторы, вместе с векторами системы (1) составляют новую систему, эквивалентную (2).

Доказательство. 1) База индукции. Пусть . Система (1) имеет вид . Тогда во-первых очевидно, что , так как (2) содержит хотя бы один вектор.

 линейно выражается через , то есть существуют коэффициенты, не все равные 0, так что . Пусть в этом равенстве  - наименьший индекс, для которого , т.е. . Тогда можно вектор  выразить через систему векторов  (3): 

. Итак, . 

Докажем, что .

Сначала докажем, что .

 выражаются через (3), так как они принадлежат этой системе (достаточно взять один коэффициент 1, другие 0). А то, что  установлено выше.

(2)

(3)

Теперь докажем, что .

 выражаются через (2), так как принадлежат ей.

 тоже выражается через (2) - это по исходному предположению индукции. Итак, . 

 

2) Индукционный шаг. Пусть при  утверждение верно. Тогда существует система

 (4),

эквивалентная (2). При этом в ней уже заменено  векторов, причём с точностью до перенумерации векторов  в системе (2).

Вектор  линейно выражается через (2), а значит, и через (4), так как

.  

           . 

Здесь хотя бы один из коэффициентов  отличен от 0, иначе бы

 выражался через , что противоречило бы линейной независимости системы (1).

Значит, какой-то один из векторов  имеет ненулевой коэффициент (пусть для определённости это будет , иначе произведём перенумерацию) а значит, его можно выразить через систему       (5)

(его перенести влево, а  вправо и поделить на коэффициент, точно так же, как делали в базе индукции).

Итак, есть две системы: 

 (4)

 (5)

где Вектор  линейно выражается через (4), а  через (5). Все прочие векторы этих систем, очевидно, выражаются через другую систему, так как принадлежат ей (один коэфф. 1, прочие 0). Итак, , но при этом было , значит, . 

Итак, возможность замены доказана.

       Осталось показать, что . Пусть, напротив, . Тогда на каком-то этапе замены, в системе (2) уже все векторы заменены на векторы из системы (1) (причём проведено  замен). Тогда при замене -го вектора мы столкнулись бы с тем, что  линейно выражается через систему , то есть через подсистему системы (1). Но если какой-то вектор системы (1) линейно выражается через другие векторы этой же системы, это противоречит линейной независимости системы (1), которая по условию теоремы выполняется.

Следствие. Две эквивалентные системы состоят из одного и того же количества векторов.

Если  и , как в теореме выше, то  и  одновременно, а значит, . 

Терминология для бесконечных систем элементов. Пусть дана  (1) бесконечная система элементов линейного пространства . Система (1) называется линейно зависимой, если в ней найдётся конечная линейно зависимая подсистема. Система называется линейно независимой, если всякая её конечная подсистема линейно независима.

Пример. Множество  ЛНС. Любая конечная подсистема ЛНС.

Доказательство.

Пусть  (1) один базис,  (2) другой базис.

Если (2) базис, значит, любой вектор из системы (1) можно выразить через него, т.е. . При этом (1) тоже базис, значит, . Тогда это эквивалентные системы , а согласно следствию (в конце прошлого §) они состоят из одного и того же количества векторов. Если есть хотя бы один конечный базис, он эквивалентен любому другому базису, и тот тоже не может содержать бесконечное количество векторов.

Определение. Количество векторов в любом базисе конечномерного пространства  называется размерностью пространства  и обозначается . 

 

Если пространство n-мерно, то всякая система, состоящая из   вектора, линейно зависима (очевидно, следует из определений выше).

В плоскости любые 3 вектора образуют ЛЗС, в пространстве 4 вектора, на прямой любые 2 вектора.

 

 

Лекция 11. 14.1 2.2020.

Теорема 2 (о выражении векторов через базис). 

Всякий вектор конечномерного линейного пространства линейно выражается через любой базис этого пространства, притом единственным образом.

Доказательство.   Пусть  некоторый базис, значит, это максимальная линейно независимая система, поэтому при добавлении любого вектора  она становится линейно зависимой: 

 ЛЗС. Тогда при каком-то ненулевом наборе коэффициентов . При этом , иначе система  была бы ЛЗС. Тогда можно перенести направо все слагаемые, кроме последнего, и поделить на коэффициент :

, .

Итак, произвольный вектор  можно выразить через базис.

Единственность. Пусть существуют 2 разных выражения через базис:

и .   

Составим разность: .

 Если хоть какие-то коэффициенты были бы отличны, то система  была бы линейно зависима, что противоречит тому, что она является базисом.

Следствие. Всякая линейно-независимая система из n векторов

n-мерного пространства является базисом.

В плоскости любые 2 неколлинеарных вектора, в пространстве любые 3 некомпланарных вектора образуют базис.   

 

Определение.  Коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых вектор представлен в виде комбинации векторов базиса, называются координатами этого вектора относительного данного базиса.

Доказательство.

Необходимость. Пусть ,  изоморфизм. Возьмём в  некоторый базис . Докажем, что система  образует базис в . По предыдущему следствию, она ЛНС. Тогда уже, как минимум, , так как в  есть ЛНС из n элементов. Покажем, что размерность  не больше или равна, а именно равна размерности . Пусть размерность  больше, то есть  ЛНС, но не базис. Тогда там есть ЛНС из  векторов, . Так как  взаимно однозначное отображение, то  является образом некоторого элемента .

Тогда  ЛНС, но это невозможно, так как  базис (максимальная линейно независимая система). Тогда  ЛЗС для всякого , т.е.  базис, и следовательно, . 

Достаточность. Пусть . Зафиксируем какие-то два базиса:  в   и  в . 

Построим изоморфизм так: если , то положим , то есть . Это действительно взаимно однозначное отображение. Если было бы не так, то например , тогда было бы

, т.е. ненулевому вектору поставили бы в соответствие (0,...,0), что противоречит построению  .

 Сохранение операций:

1)  =

 =

 = . 

2)  =  =

= . 

Лекция 12.   19.12.2020.

Подпространства.

Определение. Пусть  – линейное пространство над полем . 

Непустое подмножество его элементов, , называется подпространством пространства , если оно само является линейным пространством относительно операций, введённых для .

Тривиальные подпространства: 0 и . Остальные подпространства называются собственными.

Обозначение: . 

 

       Вовсе не любое подмножество является подпространством. Например, если рассматривать все радиус-векторы, концы которых лежат на прямой, не проходящей через начало координат, то не получается подпространство. Сумма векторов (находится по правилу параллелограмма) оказывается не на этой прямой, впрочем, даже .

.

 

Теорема 1. (Критерий подпространства).

Пусть  – линейное пространство над полем ,  – его непустое подмножество.  является подпространством в   выполнены условия: 1)      2) .

Доказательство.

Необходимость: если  подпространство, то оно во-первых является подгруппой как абелева группа, и тогда , во-вторых,  так как оно само является линейным пространством.

Достаточность. Пусть выполнено: 

1)      2) .

Из 1) следует, что  абелева группа (по критерию подгруппы).

Из 2) следует, что операция внешнего умножения порождает элемент снова из . Таким образом,  образует линейное пространство.

 

Теорема 2.  Пусть  (подпространство). Тогда .

Если  то .

Доказательство. 1) Обозначим , . Допустим, что . Тогда существует линейно независимая система  в пространстве . Однако все эти векторы одновременно с тем находятся и в пространстве . Тогда получалось бы, что в  существует ЛНС из более чем  векторов, хотя его размерность равна . Противоречие.

2) Допустим, . Тогда базис в  состоит из  векторов, и одновременно является базисом пространства . Если , то должен был бы существовать вектор , который нельзя выразить через базис пространства . Но базис пространства  является также базисом пространства , поэтому такое невозможно.  

 

Определение. Линейной оболочкой системы векторов   пространства  называется множество всевозможных их линейных комбинаций: .  

       По критерию подпространства, линейная оболочка является подпространством. Это подпространство, порождённое системой ..... (…) *

       Если эти векторы образуют ЛНС, то , если ЛЗС, то .

Следствие. Если , то в  существуют подпространства всех размерностей от 1 до .

Действительно,  одномерно,  двумерно и т.д.

Доказательство.

1) Если , то одновременно , . Так как  подпространство, то , . При этом  тоже подпространство, так что , . Таким образом,

, , а значит, по критерию подпространства,

 подпространство.

2) Если , то каждый из этих элементов представляется в виде:  , , где , .  

В таком случае  = , каждое из  подпространство, значит, , , то есть .

Если , то . 

 

Теорема 4. О размерности суммы подпространств.

Пусть , . Тогда: . 

Доказательство.    Пусть , , .

Выберем базис  пространства . Все эти векторы образуют ЛНС и принадлежат . Тогда, по теореме о продолжении базиса, можно найти такие векторы ,что система

 является базисом в . Но так как размерность , то . 

Аналогично, все векторы   лежат в , значит, и там можно достроить до базиса: . Но так как размерность , то . 

,  . 

Есть 3 системы:

 (1) базис в , 

 (2) базис в ,

 (3) возможно, базис в . (докажем).

Докажем, что система  является базисом в пространстве .

1) Докажем, что она ЛНС. Предположим, что она ЛЗС, т.е.

, 

где вектор . Но тогда он равен

 . Значит, этот вектор принадлежит пересечению .  Но тогда в его выражении отсутствуют слагаемые , т.е. .