Изоморфизм линейных пространств.

Определение. Пусть  и  – линейные пространства над полем . Отображение  называется изоморфизмом, если оно взаимно однозначно и выполняются условия:

1) ,

2) . 

Если существует какой-либо изоморфизм , то пространства называются изоморфными, если не существует, то не изоморфными.

Теорема 1. (об изоморфизме линейного пространства пространству векторов-строк).

Пусть – линейное пространство размерности n над полем .  

Тогда , где  – пространство векторов-строк длины n над полем .

Доказательство.    Пусть  – какой-либо базис пространства . Определим изоморфизм  таким образом:

если , то .

Это отображение взаимно однозначно. Пусть .

, .  

Тогда найдётся хотя бы одна  координата, что  . Тогда они не совпадают и в . Итак, отображение инъективно.  Сюръективность. Для  найдётся вектор . 

Проверим сохранение операций. ,

, .  

. 

 =  = .

      

        =  = .

Итак, .

 

Теорема 2.  Пусть  и  – линейные пространства над полем . ,  изоморфизм. Система  ЛЗС в

 ЛЗС в . 

Доказательство.  ЛЗС в  означает, что , тогда  = , то есть система  ЛЗС в . 

       Обратно, пусть  ЛЗС, .

Поскольку  изоморфизм, то существует обратное отображение , тоже являющееся изоморфизмом. Применим  к сумме , получим .

 

Следствие. Пусть  и  – линейные пространства над полем . ,  изоморфизм. Система  ЛНС в

 ЛНС в . 

Теорема 3. (Об изоморфизме линейных пространств).

 Пусть  и  – линейные пространства над полем . 

 (они имеют одинаковую размерность).

Доказательство.

Необходимость. Пусть ,  изоморфизм. Возьмём в  некоторый базис . Докажем, что система  образует базис в . По предыдущему следствию, она ЛНС. Тогда уже, как минимум, , так как в  есть ЛНС из n элементов. Покажем, что размерность  не больше или равна, а именно равна размерности . Пусть размерность  больше, то есть  ЛНС, но не базис. Тогда там есть ЛНС из  векторов, . Так как  взаимно однозначное отображение, то  является образом некоторого элемента .

Тогда  ЛНС, но это невозможно, так как  базис (максимальная линейно независимая система). Тогда  ЛЗС для всякого , т.е.  базис, и следовательно, . 

Достаточность. Пусть . Зафиксируем какие-то два базиса:  в   и  в . 

Построим изоморфизм так: если , то положим , то есть . Это действительно взаимно однозначное отображение. Если было бы не так, то например , тогда было бы

, т.е. ненулевому вектору поставили бы в соответствие (0,...,0), что противоречит построению  .

 Сохранение операций:

1)  =

 =

 = . 

2)  =  =

= . 

Лекция 12.   19.12.2020.

Подпространства.

Определение. Пусть  – линейное пространство над полем . 

Непустое подмножество его элементов, , называется подпространством пространства , если оно само является линейным пространством относительно операций, введённых для .

Тривиальные подпространства: 0 и . Остальные подпространства называются собственными.

Обозначение: . 

 

       Вовсе не любое подмножество является подпространством. Например, если рассматривать все радиус-векторы, концы которых лежат на прямой, не проходящей через начало координат, то не получается подпространство. Сумма векторов (находится по правилу параллелограмма) оказывается не на этой прямой, впрочем, даже .

.

 

Теорема 1. (Критерий подпространства).

Пусть  – линейное пространство над полем ,  – его непустое подмножество.  является подпространством в   выполнены условия: 1)      2) .

Доказательство.

Необходимость: если  подпространство, то оно во-первых является подгруппой как абелева группа, и тогда , во-вторых,  так как оно само является линейным пространством.

Достаточность. Пусть выполнено: 

1)      2) .

Из 1) следует, что  абелева группа (по критерию подгруппы).

Из 2) следует, что операция внешнего умножения порождает элемент снова из . Таким образом,  образует линейное пространство.

 

Теорема 2.  Пусть  (подпространство). Тогда .

Если  то .

Доказательство. 1) Обозначим , . Допустим, что . Тогда существует линейно независимая система  в пространстве . Однако все эти векторы одновременно с тем находятся и в пространстве . Тогда получалось бы, что в  существует ЛНС из более чем  векторов, хотя его размерность равна . Противоречие.

2) Допустим, . Тогда базис в  состоит из  векторов, и одновременно является базисом пространства . Если , то должен был бы существовать вектор , который нельзя выразить через базис пространства . Но базис пространства  является также базисом пространства , поэтому такое невозможно.  

 

Определение. Линейной оболочкой системы векторов   пространства  называется множество всевозможных их линейных комбинаций: .  

       По критерию подпространства, линейная оболочка является подпространством. Это подпространство, порождённое системой ..... (…) *

       Если эти векторы образуют ЛНС, то , если ЛЗС, то .

Следствие. Если , то в  существуют подпространства всех размерностей от 1 до .

Действительно,  одномерно,  двумерно и т.д.