Обработка результатов имитационного моделирования на основе моделей кривых роста

Цель работы

Прогнозирование результатов имитационного моделирования на основе линейной модели.

Задание на лабораторную работу

1. для зависимой переменной Y(t) построить линейную модель, параметры модели оценить с помощью метода наименьших квадратов.

2. Оценить качество построенной модели (провести исследования адекватности и точности модели).

Порядок выполнения работы

1. для отражения тенденции изменения исследуемого показателя воспользуемся простейшей моделью вида:

                       

Параметры кривой роста оцениваются по методу наименьших квадратов (МНК).

Для линейной модели:

,

,

- среднее значение фактора времени;

- среднее значение исследуемого показателя.

Примечание:

В Excel математическое ожидание (среднее значение) определяется с помощью функции СРЗНАЧ (значения чисел) в категории Статистические.

Среднее квадратическое отклонение, обозначаемое   определяет разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Заметим, что в Excel эта величина называется стандартное отклонение - СТАНДОТКЛОН (значения чисел) по зависимости

                    

3адание. По данным о курсе акций за девять недель построить линейную модель.

t	Факт Y(t)					Расчет	Отклонение E(t)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	25 34 42 51 55 67 73 76 81	-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4	16 9 4 1 0 1 4 9 16	-31 -22 -14 -5 -1 11 17 20 25	124 66 28 5 0 11 34 60 100	27,47 34,6 41,73 48,87 56,0 63,13 70,27 77,40 84,53	-2,47 -0,6 0,27 2,13 -1,0 3,87 2,73 -1,4 -3,53
45	504	0	60	0	429	504	0

 

Таблица 1. Оценка параметров уравнения прямой.

 

Таким образом, линейная модель имеет вид:

                   

Отклонения расчетных значений от фактических наблюдений вычисляются как

                    

2. Оценить качество модели, исследовав ее адекватность и точность.

Качество модели определяется ее адекватностью исследуемому процессу, которая характеризуется выполнением определенных статистических свойств, и точностью, т. е, степенью близости к фактическим данным. Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

Модель является адекватной, если ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней. нормальности распределения и равенства нулю средней ошибки.

t	Отклонение E(t)	Точки поворота		E(t)-E(t+1)	[E(t)-E(t+1)]2	E(t)*E (t+1)	|E(t)|/Y(t)*100
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-2,47 -0,6 0,27 2,13 -1,0 3,87 2,73 -1,4 -3,53	- 0 0 1 1 1 0 0 -	6,08 0,36 0,07 4,55 1,00 14,95 7,47 1,96 12,48	-1,87 -0,87 -1,87 -3,13 -4,87 1,13 4,13 2,13 -	3,48 0,75 3,48 9,82 23,68 1,28 17,08 4,55 -	1,48 -0,16 0,57 -2,13 -3,87 10,57 -3,83 4,95 -	9,87 1,76 0,63 4,18 1,82 5,77 3,74 1,84 4,36
	0	3	48,93	-	64,14	7,58	33,99

 

Результаты исследования адекватности отражены в таблице. Таблица 2. Оценка адекватности модели

2.1. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. далее подсчитывается сумма поворотных точек “р”. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

Квадратные скобки здесь означают, что от результата вычислений берется целая часть числа (не путать с процедурой округления!). При N= 9 в правой части неравенства имеем: [2,4]=2. Следовательно, свойство случайности выполняется.

2.2. При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d – критерия Дарбина - Уотсона, в соответствии с которым определяется коэффициент d:

Вычисленная величина этого критерия сравнивается с двумя табличными уровнями (нижним  и верхним )

Если  - то уровни остатков сильно автокоррелированы, а модель неадеквата;  - то уровни ряда являются независимыми; d > 2 - то это свидетельствует об отрицательной корреляции и перед входом в таблицу необходимо выполнить преобразование: d = 4 – d;

- то однозначного вывода сделать нельзя и необходимо применение других критериев, например, первого коэффициента автокорреляции r (1), который вычисляется по формуле:

Если  (табл.) (при N < 15r (табл.) = 0,36), то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается.

В нашем примере d = 1,31.

Для линейной модели при 9 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины   и

Так как рассчитанная величина попала в зону между  то однозначного вывода сделать нельзя и необходимо применение других критериев.

Воспользуемся первым коэффициентом автокорреляции:                                r (l) = 7,58 / 48,93 = 0,154.

Следовательно, по этому критерию также подтверждается выполнение свойства независимости уровней остаточной компоненты.

2.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS - критерия:

где  максимальный уровень ряда остатков;

 минимальный уровень ряда остатков;

 - среднее квадратическое отклонение.

Если значение этого критерия попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. Для N = 10 и 5% го уровня значимости этот интервал равен (2,7 - 3,7).

В нашем примере:  и

RS = 2, 99

Расчетное значение попадает в интервал. Следовательно, свойство нормальности распределения выполняется, что позволяет строить доверительный интервал прогноза.

Для характеристики точности воспользуемся среднеквадратическим отклонением и средней относительной ошибкой:

Ее величина менее 5% свидетельствует об удовлетворительном уровне точности модели (ошибка в 10 и более процентов является очень большой).

3. Точечный прогноз на k шагов вперед получается путем подстановки в модель параметра t=N+1,…,N+k. При прогнозировании на два шага имеем:

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза

Нижняя граница прогноза

Величина U(k) для линейной модели имеет вид:

Коэффициент  является табличным значением t -статистики Стьюдента. Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равный 70%, то  = 1,05.

U (1) = 3, 21

U (2) = 3, 40

Таблица З. Прогнозные оценки по линейной модели

Время t	Шаг k	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
10	1	91,67	88,46	94,88
11	2	98,80	95,40	102,20

 

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Варианты заданий

Номер Вашего варианта соответствует последним двум цифрам зачетной книжки. В соответствии с ним из таблицы выберите показатель Y(t). Если число, которое образуют последние две цифры номера Вашей зачетной книжки, превышает 50, то предварительно вычтете из него эту величину, а затем выберите соответствующие данные указанным выше способом.

N показателя