Краткие теоретические сведения

Решение любой задачи проводится двумя методами:

А) Аналитическим;

Б) Имитационным.

Функционирование любой системы массового обслуживания можно представить через все ее возможные состояния, а также через интенсивность перехода из одного состояния в другое. Основными параметрами функционирования системы массового обслуживания являются вероятности ее состояния, то есть возможности наличия n требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) в системе – P_n. Так, вероятность P₀ характеризует состояние, когда в системе нет требований и канал обслуживания простаивает.

Важными параметрами функционирования системы массового обслуживание являются также среднее число требований, находящихся в системе, то есть в очереди и на обслуживании, – N_syst – и средняя длина очереди – N_och. Исходными параметрами, характеризующими систему массового обслуживания, являются:

1. Число каналов обслуживания (касс, компьютеров, подъемных кранов, ремонтных бригад) – N.

2. Число требований (покупателей, зданий, машин, неполадок) – m.

3. Интенсивность поступления одного требования на обслуживание, то есть число поступлений требований в единицу времени – λ.

4. Интенсивность обслуживания требований – μ.

Интенсивность поступления требования на обслуживание определяется как величина, обратная среднему времени между поступлениями двух смежных требований, – t_p:

                                                                                       (1)

Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная среднему времени обслуживания одного требования, – t_o:

                                                                                         (2)

Рассмотрим сначала решение аналитическим методом.

А) Решение задачи аналитическим методом.

Состояние системы массового обслуживания будем связывать с числом требований, находящихся в системе:

- в системе нет ни одного требования – вероятность состояния P ₀;

- в системе находится одно требование – вероятность состояния P ₁;

- в системе находится n требований – вероятность состояния P_n.

Представим все возможные состояния системы массового обслуживания в виде размеченного графа состояний (рисунок 1). Каждый прямоугольник графа, количественно оцениваемый вероятностью состояния P_n, определяет одно из всех возможных состояний. Стрелки указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью.

Первый прямоугольник с вероятностью P ₀ определяет состояние системы массового обслуживания, при котором канал обслуживания простаивает из-за отсутствия требований в системе.

Рисунок 1 – Размеченный граф состояний одноканальной разомкнутой системы массового обслуживания

Из этого положения система массового обслуживания может перейти только в состояние P_i. Это значит, что в системе появится одно требование, так как входной поток ординарный. С интенсивностью μ система может перейти из состояния P_i в состояние P ₀. Это означает, что единственное находящееся в системе требование было обслужено раньше, чем появилось новое.

Сначала рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятности характеристики СМО постоянны во времени, например в течение часа. Тогда интенсивность входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы. Эти сбалансированные потоки могут выглядеть так:

;

;

;

Обозначим величину λ / μ через k и назовем ее коэффициентом использования:

                                                  .                                              (3)

Из первого уравнения можно найти значение P ₁:

.

Из второго уравнения найдем значение P ₂:

.

Но первый член

.

Следовательно, первый и третий сокращаются:

.

Из третьего уравнения найдем значение P ₃:

.

Но первый член

.

Следовательно, первый и третий также сокращаются:

и т.д.:

.

Используя очевидное равенство

                                                   ,                                            (4)

получим:

                                                                                           (5)

Так как k меньше 1, то сумма геометрически убывающей прогрессии равна

.

При

                                            .                                      (6)

Отсюда вероятность простоя канала обслуживания определяется так:

                                                                                               (7)

Среднее число обслуживаемых требований N_syst находящихся в системе, может быть определено таким образом:

                                        (9)

                                           (10)

Выражение в последних скобках является производным от следующего выражения:

               ,

т.е. равно                                                                                    (11)

Окончательное среднее число обслуживаемых требований N_syst, находящихся в системе, определяется по формуле:

                                                                                          (12)

Среднее же число требований (машин), находящихся в очереди, будет вычислено так:

                                                                              (13)

Среднее время ожидания требования можно определить, зная среднее число требований, находящихся в системе:

                                                                          (14)

Используя полученные выражения, определим основные параметры функционирования одноканальной разомкнутой СМО с простейшими потоками на примере функционирования системы «Станок-изделия». Допустим, что входной поток изделий, поступающих на обработку, является простейшим потоком со среднем временем ожидания в очереди 10 минут и временем обработки 6 минут. Тогда интенсивность потока изделий, поступающих на обслуживание, составит  изделий в час.

Интенсивность же потока изделий после обслуживания составит  изделий в час.

Коэффициент использования очереди определяется по формуле (3).

Откуда вероятность простоя канала обслуживания определяется так:

.

Среднее число обслуживаемых требований N_syst, находящихся в системе:

                                           .                                    (15)

.

Среднее же число требований (машин), находящихся в очереди, будет вычислено так:

                                                                        (16)

Б) Решение задачи имитационным методом

Рассмотрим теперь решение этой же задачи имитационным методом. Для облегчения построения имитационной модели, изобразим графически процесс функционирования одноканальной разомкнутой системы (рисунок 2).

Рисунок 2 – Графическое изображение функционирования одноканальной разомкнутой системы

Рассмотрим все события, происходящие в одноканальной разомкнутой системе:

- генерирование требований, входящих в систему (GENERATE – Генерировать);

- вход требований в очередь (QUEUE – Очередь);

- проверка занятости канала обслуживания (SEIZE – Занять);

- выход требования из очереди (DEPART – Выйти);

- обслуживание требования (ADVANCE – Задержать);

- освобождение канала обслуживания (RELEASE – Освободить);

- выход требований из системы (TERMINATE – Завершить);

Поскольку требования не возвращаются в систему, то мы имеем одноканальную разомкнутую систему.