Одноканальна система з необмеженою чергою

 

На практиці часто зустрічаються одноканальні СМО з необмеженою чергою (наприклад, телефон-автомат з однією будкою).

Розглянемо завдання.

Є одноканальна СМО з чергою, на яку не накладені ніякі обмеження (ні по довжині черги, ні за часом очікування). Потік заявок, що поступають в СМО, має інтенсивність, а потік обслуговуванні — інтенсивність . Необхідно знайти граничну вірогідність станів і показники ефективності СМО. Система може знаходитися в одному із станів S_o S₁, S₂,., S_k, по числу заявок, що знаходяться в СМО: S_o — канал вільний;.S₁ — канал зайнятий (обслуговує заявку), черги немає; S₂— канал зайнятий, одна заявка стоїть в черзі; S_k — канал зайнятий, (до - 1) заявок стоять в черзі і т.д.

Граф станів СМО представлений на мал. 3.

 

S2

S0

S1

Sn

… …

       … …

Мал. 3

Це процес загибелі і розмноження, але з нескінченним числом станів, в якому інтенсивність потоку заявок рівна, а інтенсивність потоку обслуговуванні .

Перш ніж записати формули граничної вірогідності, необхідно бути упевненим в їх існуванні, адже у разі, коли час , черга може необмежено зростати. Доведено, що якщо р < 1, тобто середнє число заявок, що приходять, менше середнього числа обслужених заявок (у одиницю часу), то гранична вірогідність існує. Якщо р > 1, черга росте до безкінечності.

Для визначення граничної вірогідності станів скористаємося формулами для процесу загибелі і розмноження (тут ми допускаємо відому не строгість, оскільки раніше ці формули були одержані для випадку кінцевого числа станів системи). Одержимо:

 

 (29)

 

Оскільки гранична вірогідність існує лише при р < 1, то геометричний ряд із знаменником р < 1, записаний в дужках у формулі (29), сходиться до суми, рівної. Тому з урахуванням співвідношень

 

 (31)

 

Знайдемо граничні ймовірності інших станів

 

 (32)

 

Гранична вірогідність р₀, р₁, р₂, p_k, утворюють убуваючу геометричну прогресію із знаменником р < 1, отже, вірогідність p₀ найбільша. Це означає, що якщо СМО справляється з потоком заявок (при р < 1), то найбільш вірогідною буде відсутність заявок в системі.

Середнє число заявок в системі L_сист визначимо по формулі математичного очікування, яка з урахуванням (31) прийме вигляд

 

 (33)

 

(підсумовування від 1 до , оскільки нульовий член p₀ = 0).

Можна показати, що формула (33) перетвориться (при р < 1) до вигляду

 

 (34)

 

Знайдемо середнє число заявок в черзі L_оч. Очевидно, що

 

L_оч=L_сист - L_об (35)

 

де L_об — середнє число заявок, що знаходяться під обслуговуванням.

Середнє число заявок під обслуговуванням визначимо по формулі математичного очікування числа заявок під обслуговуванням, що приймає значення 0 (якщо канал вільний) або 1 (якщо канал зайнятий):

 

 

тобто середнє число заявок під обслуговуванням рівне вірогідності того, що канал зайнятий:

 

 (36)

По формулі (30)

 

 (37)

 

Тоді отримаємо:

 

 (38)

 

Доведено, що при будь-якому характері потоку заявок, при будь-якому розподілі часу обслуговування, при будь-якій дисципліні обслуговування середній час перебування заявки в системі (черги) рівна середньому числу заявок в системі (у черзі), що ділиться на інтенсивність потоку заявок, тобто

 

 (39)

 (40)

 

Формули (39) і (40) називаються формулами Літтла. Вони витікають з того, що в граничному, стаціонарному режимі середнє число заявок, що прибувають в систему, рівно середньому числу заявок, що покидають її: обидва потоки заявок мають одну і ту ж інтенсивність .

На підставі формул (39) і (40) з обліком (34) і (38) середній час перебування заявки в системі визначиться по формулі:

 

 (41)

 

а середній час перебування заявки в черзі

 (42)