Багатоканальна СМО з необмеженою чергою

 

Розглянемо завдання. Є n-канальна СМО з необмеженою чергою. Потік заявок, що поступають в СМО, має інтенсивність , а потік обслуговуванні інтенсивність . Необхідно знайти граничну вірогідність станів СМО і показники її ефективності.

Система може знаходитися в одному із станів S_o S₁, S₂,..., S_k..., S_n нумерованих по числу заявок, що знаходяться в СМО: S_o — в системі немає заявок (всі канали вільні); S₁— зайнятий один канал, інші вільні; S₂ — зайняті два канали, інші вільні; S_k — зайнято каналів, інші вільні; S_n — зайняті всі n каналів (черги немає); S_n+1 — зайняті всі n каналів, в черзі одна заявка; S_n+r — зайняті всі n каналів, r заявок стоїть в черзі.

Звернемо увагу на те, що на відміну від попередньої СМО, інтенсивність потоку обслуговуванні (що переводить систему з одного стану в інший справа наліво) не залишається постійною, а у міру збільшення числа заявок в СМО від 0 до n збільшується від величини  до n , оскільки відповідно збільшується число каналів обслуговування. При числі заявок в СМО більшому, ніж n, інтенсивність потоку обслуговуванні зберігається рівною n .

Можна показати, що при р/n < 1 гранична вірогідність існує. Якщо р/n  1, черга росте до безкінечності. Використовуючи формули для процесу загибелі і розмноження, можна одержати наступні формули для граничної вірогідності станів n-канальної СМО з необмеженою чергою

 

 (43)

 (44)

 (45)

 

Ймовірність того, що заявка буде в очереді,

 

 (46)

 

Для n-канальної СМО з необмеженою чергою, використовуючи колишні прийоми, можна знайти: середнє число зайнятих каналів

 

 (47)

 

середнє число заявок в черзі

 

 (48)

 

середнє число заявок в системі

 

 (49)

 

Середній час перебування заявки в черги і середній час перебування заявки в системі, як і раніше, знаходяться по формулах Літтла.

СМО з обмеженою чергою

 

СМО з обмеженою чергою відрізняються від розглянутих вище завдань лише тим, що число заявок в черзі обмежене (не може перевершувати деякого заданого т). Якщо нова заявка поступає в мить, коли всі місця в черзі зайняті, вона покидає СМО не обслуженої, тобто дістає відмову.

Очевидно: для обчислення граничної вірогідності станів і показників ефективності таких СМО може бути використаний той же підхід, що і вище, з тією різницею, що підсумовувати треба не нескінченну професію (як, наприклад, ми робили при виведенні формули (30)), а кінцеву.

Середній час перебування заявки в черзі і в системі, як і раніше, визначаємо по формулах Літтла.

 

Висновки

 

У системах масового обслуговування (СМО) розглядаються черги і вирішуються питання по обслуговуванню ряду (потоку) вимог від людей, приладів, подій.

Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, що пов'язують задані умови роботи СМО (число каналів, їх продуктивність, характер потоку заявок і т.п.) з показниками ефективності СМО, що описують її здатність справлятися з потоком заявок.

Приклади СМО: черга у магазині (касир розглядається як прилад, що обслуговує чергу); телефонна станція (розглядається як прилад, що обслуговує потік замовлень на телефонні розмови); оператори ЕОМ (вони розглядаються сумісно з ЕОМ як прилад, що обслуговує потік інформації від приладів, підприємств та інших операторів).

Вимоги на виконання робіт поступають у випадкові моменти часу, обслуговуючі пристрої задовольняють вимоги (обробляють їх) за випадковий термін. Кількість вимог є статистично оціненою величиною.

Таким чином, СМО має дві головні ознаки: обслуговуючий пристрій і чергу.

Процес роботи СМО є випадковим процесом.

Математичний аналіз роботи СМО істотно спрощується, якщо процес цієї роботи - марківський. Випадковий процес називається марківським або випадковим процесом без наслідку, якщо для будь-якого моменту часу t₀ імовірнісні характеристики процесу в майбутньому залежать тільки від його стану в даний момент t₀ і не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан.

СМО розрізняються:

1. За конструкцією обслуговуючого пристрою: одноканальна, багатоканальна.

2. За дисципліною черги. Найбільше розповсюджено правило: перший прийшов - перший обслуговуєшся. Але у СМО розглядаються й інші варіанти обслуговування, наприклад:

- вимоги за пріоритетом;

- відсутність черги (якщо для обслуговування черги немає вільного каналу або якщо СМО зайнята, то вимога не задовольняється і зникає).

При аналізі СМО намагаються одержати такі характеристики:

- середню довжину черги;

- середній термін обслуговування;

- середній час, за який обслуговуючий пристрій не працює.

При дослідженні СМО звичайно вважають, що вхідний потік вимог підпорядковується закону Пуассона, за яким розглядають відносно рідкі події. За законом Пуассона ймовірність появи точно К подій із n за проміжок часу t.

 

 

Список використаної літератури:

1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов/ Н.Ш.

2. Кремер, Б.А. Петько, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. 

Н.Ш. Кремера. - М.: Банки й биржи, ЮНИТИ, 1997.

3. Ю.П.Зайченко. Дослідження операцій. – Київ:ЗАТ “Віпол”, 2000. – 688 с.

4. С.І.Наконечний,С.С.Савіна Математичне програмування: Навч.посіб.– К.:КНЕУ,2003.

5. Кутковецький В.Я.. Дослідження операцій: Навчальний посібник.– Київ: Вид-во ТОВ “Видавничий дім “Професіонал”,2004.

6.

6. Катренко А.В. Дослідження операцій. Підручник. – Львів: «Магнолія»

Плюс», 2004.