Багатоканальна система з відмовами

 

Розглянемо класичне завдання Эрланга.

Є п каналів, на які поступає потік заявок з інтенсивністю . Потік обслуговувань має інтенсивність . Знайти граничну вірогідність станів системи і показники її ефективності.

Система S (СМО) має наступні стани (нумеруємо їх по числу заявок, що знаходяться в системі): S_o, S₁, S₂,..., S_k..., S_n, де S_k — стан системи, коли в ній знаходиться k заявок, тобто зайнято k каналів.

Граф станів СМО відповідає процесу загибелі і розмноження показаний на мал. 2

 

S2

S0

Sn

S1

…

       …

Мал. 2

 

Потік заявок послідовно переводить систему з будь-якого лівого стану в сусідній правий з однією і тією ж інтенсивністю . Інтенсивність же потоку обслуговуванні, що переводять систему з будь-якого правого стану в сусідній лівий стан, постійно міняється залежно від стану. Дійсно, якщо СМО знаходиться в стані S₂ (два канали зайняті), то вона може перейти в стан S₁ (один канал зайнятий), коли закінчить обслуговування або перший, або другий канал, тобто сумарна інтенсивність їх потоків обслуговуванні буде 2 . Аналогічно сумарний потік обслуговуванні, що переводить СМО із стану S₃ (три канали зайняті) у S₂ матиме інтенсивність 3 , тобто може звільнитися будь-який з трьох каналів і т.д.

Для схеми загибелі і розмноження одержимо для граничної вірогідності стану

 

 (20)

 

де члени розкладання , ,  —,будуть представляти собою коефіцієнти при р_о у виразах для граничної вірогідності p₁, p₂, p_k., p_n.

Величина (21) називається приведеною інтенсивністю потоку заявок або інтенсивністю навантаження каналу. Вона виражає середнє число заявок, що приходить за середній час обслуговування однієї заявки. Тепер

 

 (22)

 

Формула (22) для граничної вірогідності одержала назву формула Эрланга на честь засновника теорії масового обслуговування.

Вірогідність відмови СМО є гранична вірогідність того що всі п каналів системи будуть зайняті, тобто

 

 (23)

 

Відносна пропускна спроможність — вірогідність того, що заявка буде обслужена:

 

 (24)

 

Абсолютна пропускна спроможність:

 

 (25)

 

Середнє число зайнятих каналів є математичне очікування числа зайнятих каналів:

 (26)

 

де p_k — гранична вірогідність станів, визначуваних по формулі (8).

Проте середнє число зайнятих каналів можна знайти простіше, якщо врахувати, що абсолютна пропускна спроможність системи А є не що інше, як інтенсивність потоку обслужених системою заявок (у одиницю часу). Оскільки кожен зайнятий канал обслуговує в середньому заявок (у одиницю часу), то середнє число зайнятих каналів

 

 (27)

 

або, враховуючи (25) та (21):

 

 (28)

СМО з очікуванням (чергою)

 

Як показники ефективності СМО з очікуванням, окрім вже відомих показників — абсолютної А і відносної Q пропускної спроможності, вірогідності відмови Р_отк,, середнього числа зайнятих каналів (для багатоканальної системи) розглядатимемо також наступні: L_сист— середнє число заявок в системі; T_сист — середній час перебування заявки в системі; L_oч — середнє число заявок в черзі { довжина черги); Т_оч — середній час перебування заявки в черзі; Р_зан — вірогідність того, що канал зайнятий (ступінь завантаження каналу).