Практическая работа № 5 «Погрешности однократных и многократных измерений. Правило «трех сигм»

Тема: Основы теории измерений

Цель работы: по данным результатов измерений найти предварительные значения показателей вариации, оценить пределы возможных ошибок и после исключения ошибочных результатов найти точные показатели вариации, определить величину доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей. Сделать выводы.

Пособия для работы: Закон РФ «Об обеспечении единства измерений»; основополагающие стандарты Государственной системы обеспечения единства измерений; средства измерений, паспорта на СИ и образцы материалов для испытаний.

 

Задание 1

 

Изучить метрологические характеристики средств измерений, в частности, по паспортам и эксплуатационной документации ознакомиться с нормированными метрологическими характеристиками различных средств измерений.

Весы электронные «ФОРТ-Т»

Весы предназначены для статического взвешивания грузов на предприятиях про-

мышленности, сельского хозяйства и торговли.

Весы предназначены для эксплуатации при температуре окружающей среды от

-10 °С до плюс 40 °С, относительной влажности до 80 % при плюс 30 °С и атмосферном

давлении от 630 до 800 мм рт.ст. (от 84 до 106,7 кПа).

 

 

Задание 2

 

Познакомиться с методикой математической обработки результатов измерения какого-либо параметра материала, для чего:

проанализировать влияние различных факторов (объекта, субъекта, средства измерения) на результаты измерений.

На измерения влияют следующие факторы:

· объект измерения (состояние объекта измерения);

· субъект измерения (эксперт или экспериментатор, физиологическое состояние эксперта);

· способ(метод) измерения;

· средства измерения;

· условия измерения;

· измерительные усилия (при контактных измерениях). Объект измерения должен быть достаточно глубоко изучен.

 

Объект измерения - тело, которое характеризуется одной или несколькими измеряемыми физическими величинами. Например, коленчатый вал, у которого измеряют диаметр; технологический процесс, во время которого измеряют температуру; спутник Земли, координаты которого измеряются.

Перед началом измерения необходимо представить себе модель исследуемого объекта, который при поступлении измерительной информации может уточняться. Различным объектам присуща специфика измерений: одни из них характеризуются стабильностью измеряемых физических величин в течение длительного времени (например, металлические предметы), другие - высокой лабильностью, причем изменения могут быть и во время измерения (например, в биообъектах).

Задание 3

 

Определить класс точности, погрешность измерения и окончательный результат измерения по предложенным рисункам шкал приборов.

Примечание: Класс точности - обобщенная характеристика средства измерения, выраженная пределами его допускаемых погрешностей. Обозначения классов точности (как правило, арабскими цифрами) наносится на циферблаты СИ. Для СИ с равномерной шкалой, класс точности означает, что измеряемой величины не отличается от того, что показывает указатель отчетного устройства более чем на соответствующее число процентов от верхнего предела измерения. Для СИ с неравномерной шкалой обозначение арабской цифрой (заключенной в окружность) означает, что проценты исчисляются непосредственно от того значения, которое показывает указатель отчетного устройства.

Задание 4

 

Решите задачи согласно предложенному алгоритму.

Исходные данные для выполнения задания

Вариант	Задание
1	8,5 7,7 8,4 7,3 8,4 8,4 8,3 7,6 8,7 8,4 8,4 6,1 6,2 7,3 8,4 8,3 7,8 8,3 7,5 2,1 11,2 18,1 8,2 8,7 9,9 Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,95 p3 =0,995
2	22 24 28 22 24 24 24 33 24 25 24 25 24 24 25 27 26 24 25 25 27 12 34 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,9 p3 =0,99.
3	1,3 1,2 1,2 0,9 0,9 0,8 1,2 1,1 1,2 1,5 0,3 1,2 1,3 1,2 1,2 1,2 1,1 1,2 1,2 1,1 2,1 1,2 1,3 Доверительные вероятности: p1 =0,88 p2 =0,98 p3 =0,997.
4	40 45 44 45 35 46 47 48 43 50 45 47 38 45 44 73 41 44 40 46 44 15 43 Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,99 p3 =0,997.
5	2 11 10 10 9 10 11 10 9 10 10 10 11 10 9 10 11 10 10 11 10 11 19 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,85 p3 =0,95.
6	8,5 8,3 8,4 8,4 8,4 8,4 8,3 8,5 8,6 8,4 1,8 8,4 8,4 7,4 6,2 8,4 8,4 8,3 14,7 8,3 8,3 8,4 8,3 Доверительные вероятности: p1 =0,95 p2 =0,99 p3 =0,997.
7	8,5 7,7 8,4 1,1 8,4 8,3 7,6 8,7 8,4 7,2 8,4 8,4 6,1 14,5 8,4 8,4 8,3 7,8 8,3 7,5 8,3 7,7 8,8 Доверительные вероятности: p1 =0,86 p2 =0,95 p3 =0,995.
8	8,5 4,2 8,4 8,3 8,4 8,4 8,3 8,6 8,7 8,4 8,2 8,4 8,4 12,3 9,2 8,3 8,4 8,3 8,4 8,3 8,8 8,8 8,5 8,9 Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,99 p3 =0,997.
9	12,5 12,8 13,3 12,8 12,7 13,1 12,6 12,9 13 13,8 14,6 12,9 13 13,1 13,3 12,9 13,3 11,4 12,8 2,1 12,2 22,4 13,3 7,8 Доверительные вероятности: p1 =0,95 p2 =0,99 p3 =0,997.
10	22 24 22 29 24 24 24 24 41 24 25 24 25 24 25 24 25 22 26 24 25 25 8 24 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,85 p3 =0,9.
11	1,3 1,2 1,1 1,3 1,3 2,4 1,2 1,3 1,2 1,4 0,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,1 1,2 1,3 1,2 1,2 1,2 1,3 1,2 1,2 Доверительные вероятности: p1 =0,83 p2 =0,88 p3 =0,92.
12	2,3 2,2 2,1 2,2 3,8 1,8 2,20 2,2 2,2 2,3 0,8 2,2 2,3 2,2 2,3 2,2 2,3 2,2 2,4 2,5 2,5 2,2 2,3 2,8 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,9 p3 =0,99.
13	5,3 5,2 5 5,1 4,8 8,8 5,20 5,5 5,2 5,3 5,2 5,5 5,1 5,2 5,3 5,2 2,1 5,5 5,2 5,2 5,5 5,5 5,2 5,3 Доверительные вероятности: p1 =0,9 p2 =0,99 p3 =0,997.
14	10,3 10,2 13,3 10,9 10,9 10,8 10,20 10,1 10,2 10,5 10,2 10,3 10,2 10,2 10,1 10,2 10,2 10,1 10,1 10,2 10,3 7,1 10,4 Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,92 p3 =0,98.
15	23 25 26 21 24 25 23,00 35 24 25 24 25 24 22 25 27 26 22 25 25 21 23 27 11 26 22 Доверительные вероятности: p1 =0,83 p2 =0,88 p3 =0,99.
16	11 12 10 12 10 11 13 22 12 11 14 11 11 13 11 13 14 13 12 10 12 11 12 11 2 17 12 Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,91 p3 =0,98.
17	12 13,8 13,1 11,8 10,7 11,1 12,20 12,1 13,6 12,8 21,1 10,9 13,1 13,3 13,8 11,9 13,3 3,5 11,1 12,3 11 11,3 12,1 11,9 Доверительные вероятности: p1 =0,82 p2 =0,9 p3 =0,96.
18	2,1 2,3 2 2,2 2,5 2,3 2,10 2,3 2,2 2,1 2,3 5,2 2,5 2,1 2,1 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 1,9 5,1 2,1 2,3 Доверительные вероятности: p1 =0,81 p2 =0,91 p3 =0,997.
19	1,1 1,3 1,2 0,95 0,99 1,3 1,10 1,4 1,1 1,7 0,1 1,5 1,2 1,2 1,1 1,2 1,3 1,2 1,2 1,1 1,15 1,2 1,5 2,2 Доверительные вероятности: p1 =0,89 p2 =0,95 p3 =0,97.
20	22,5 22,8 23,3 22,8 22,7 11,5 22,60 22,9 23,1 23,8 24,6 22,9 23 23,1 22,9 23,3 35,5 23,1 25,5 27,1 23,1 22,1 22,3 23,3 Доверительные вероятности: p1 =0,92 p2 =0,98 p3 =0,995.

При многократном измерении одной и той же величины ошибки проявляются в том, что результаты отдельных измерений значительно отличаются от остальных. Иногда это отличие настолько большое, что ошибка очевидна, поэтому данный результат можно отбросить как заведомо неверный. Если отличие небольшое, то оно может быть следствием как ошибки, так и рассеяния отсчета. Определить возможность исключения сомнительного результата измерения позволяет «правило трех сигм», которое гласит: если при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера сомнительное значение результата отличается от среднего значения х_ср больше, чем на 3σ, то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным и его следует отбросить.

При построении вариационных рядов каждый вариант или интервал имеет определенную частость, которая при большом количестве измерений стремится к вероятности попадания значения в данный интервал.

Одной из наиболее распространенных форм распределения случайной величины является нормальное распределение (распределение Гаусса).

С ним приходится сталкиваться при анализе производственных погрешностей, контроле технологических процессов и режимов и т.д.

Если весь массив экспериментальных данных подчиняется закону нормального распределения, то все значения измеряемой величины должны группироваться вокруг среднего значения, и выпадение какого-либо отдельного значения результата из этого массива позволяет предположить, что он ошибочный.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки результата пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Доверительный интервал определяет, на какую величину может отличаться отдельное значение результата измерения при нормальном распределении от своего среднего значения.

Неравенство

P(х_ср – ε < x₀ < х_ср+ε) (1)

означает, что с вероятностью P значение измеряемого параметра x₀ попадает в интервал

I_p = (х_ср - ε, х_ср + ε)

Например, известно, что с вероятностью P = 0,5 измеряемое значение при нормальном распределении попадет в интервал

(х_ср ± σ);

с P = 0,68 в интервал (х_ср ± σ)

с P = 0,95 в интервал (х_ср ± 2σ)

с P = 0,99 в интервал (х_ср ± 2,6σ)

с P = 0,997 в интервал (х_ср ± 3σ)

Эта вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал – доверительным интервалом.

Доверительный интервал измеряемого параметра x₀ приближенно находится по формуле

(2)

где t_р определяет число средних квадратичных отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания x₀ в полученный интервал была равна P;

n – общее количество измерений.

При выборе доверительной вероятности необходимо учитывать ответственность поставленной задачи: чем более ответственна задача, тем с большей доверительной вероятностью (надежностью) должны быть оценены полученные параметры статистического анализа. Обычно для технических расчетов их принимают равными от 0,90 до 0,99, т.е. от 90 до 99%.

Порядок выполнения задания

1. По данным пробной выборки рассчитываем предварительные значения показателей вариации

размах вариации

R = X_max – X_min. (3)

Средняя арифметическая

(4)

Дисперсия может быть рассчитана по ранее изученной формуле или по упрощенной формуле, наиболее часто применяемой на практике

(5)

Среднеквадратическая погрешность

(6)

Коэффициент вариации

(7)

2. Определяем пределы возможных ошибок. Для этого используем правило «трех сигм». Интервал нахождения истинных значений будет равен

(8)

Найти в ряду значения, которые не попадают в полученный интервал. Эти значения и являются ошибочными, поэтому должны быть отброшены.

3. После удаления из ряда измерений случайных величин производим пересчет показателей вариации. По правилу «трех сигм» определяем пределы возможных ошибок

4. Повторяем п. 3) до тех пор, пока не исключим все ошибки. т.е. все значения будут находиться в интервале (8)

5. После исключения случайных ошибок для каждой заданной доверительной вероятности находим доверительный интервал по формуле

(9)

Параметр tp следует определять по таблице в зависимости от величины заданной доверительной вероятности.

Таблица – Значения коэффициента доверия

p	tp	p	tp	p	tp
0,80	1,282	0,88	1,554	0,96	2,053
0,81	1,310	0,89	1,597	0,97	2,169
0,82	1,340	0,90	1,643	0,98	2,325
0,83	1,371	0,91	1,694	0,99	2,576
0,84	1,404	0,92	1,750	0,995	2,807
0,85	1,439	0,93	1,810	0,997	3,290
0,86	1,475	0,94	1,880
0,87	1,513	0,95	1,960