Сжимаемая и несжимаемая жидкости

Сжимаемая жидкость – модель жидкости, учитывающая действительно существующую сжимаемость всех реальных жидкостей. При исследовании движения сжимаемой жидкости плотность является функцией давления и температуры. Сжимаемая жидкость – основная модель жидкости, используемая в газовой динамике.

Несжимаемая жидкость – модель жидкости, плотность которой при изменении давления и температуры не изменяется. Эта модель используется для упрощения исследования течений в тех случаях, когда действительно имеющее место относительное изменение плотности реальной жидкости весьма мало (обычно менее 5 … 6 %).

И сжимаемая и несжимаемая жидкости в общем случае могут быть как вязкими, так и невязкими.

Уравнения состояния

Для исследования сжимаемых течений уравнений движения (уравнений Навье – Стокса) и уравнения неразрывности недостаточно. В самом деле, изменения давления и плотности, происходящие в сжимаемых течениях, влекут за собой изменение температуры, что приводит к необходимости вводить в рассмотрение некоторые термодинамические соотношения. Одним из таких соотношений является уравнение состояния, связывающее между собой давление, плотность и температуру.

Связь между термодинамическими параметрами для реальных газов может быть установлена исходя из известных положений кинетической теории газов с помощью методов статистической физики, но ввиду сложности общего уравнения состояния и трудности определения входящих в него констант для описания термодинамических свойств сжимаемых газов обычно пользуются приближенными теоретическими и эмпирическими уравнениями.

 

В зависимости от того, какой вид уравнения состояния используется принято различать модели «совершенного газа» (очень часто его ещё называют «идеальным газом»), «газ Ван-дер-Ваальса» или «вандерваальсовского газ» и так называемого «реального газа». Очевидно, что в последнем случае «реальность» следует понимать лишь как более точное приближение в описание известных термодинамических свойств реальных газов, устанавливаемых, как правило, экспериментально.

 

Самым простым и наиболее распространенным является уравнение состояние совершенного газа – уравнение Менделеева - Клапейрона:

p=ρRT,

 

которое достаточно хорошо отражает соотношение параметров большинства газов (азот, водород, воздух, кислород и др.) при умеренных давлениях (не выше 5 … 10 МПа) и положительных температурах.

В области высоких давлений и низких температур, близких к критической температуре газа уравнение Менделеева – Клапейрона не применимо, поскольку неточно отражает соотношение термодинамических параметров реального газа.

Совершенный газ – гипотетическая модель газа, молекулы которого представляются в виде абстрактных материальных точек, не имеющих физического объёма и взаимодействующих только при соударениях. Совершенный газ имеет постоянные теплоемкости C_p и C_{v ,} показатель изоэнтропы k= C_p / C_v и молекулярную массу.

В практических расчетах часто используется уравнение состояния совершенного газа, «модифицированное» введением, так называемого, коэффициента сжимаемости z,   величина которого зависит от давления и температуры:

 

p=zρRT.

 

Последнее выражение иногда ошибочно называют  уравнением состояния реального газа.  

Уравнение состояния, предложенное в 1873 г. голландским физиком Ван-дер-Ваальсом (Ян Дидерик Ван-дер-Ваальс *1837 †1923) по существу также является уточнением уравнения Менделеева – Клапейрона, но в отличие от последнего уравнение Ван-дер-Ваальса «работает» вблизи точек конденсации газа и даже удовлетворительно описывает связи для некоторых диапазонов жидкой фазы.

Уравнение Ван-дер-Ваальса, полученное на основе главным образом умозрительных качественных заключений, имеет следующий вид:

 

(p+α/υ²)(υ-β)= RT,

 

где α и β – константы, которые наряду с газовой постоянной R характеризуют индивидуальные свойства вещества. Величина параметра β интерпретируется как объём, занимаемый собственно молекулами газа; член α/υ² рассматривается как внутреннее давление в газе, обусловленное силами взаимодействия его молекул. Учет таких свойств реального газа как наличие межмолекулярного взаимодействия и объёма молекул, является причиной того, что очень часто это уравнение также ошибочно называют уравнением состояния реального газа.

 Известно большое число уравнений в вириальной форме (уравнение Боголюбова - Майера, например), а также просто в виде интерполяционной формулы, описывающей экспериментальные данные. Эти и подобные им уравнения (зависимости) и принято считать «уравнениями состояния реального газа», поскольку они справедливы в достаточно широкой области состояний.

Сжимаемость жидкости

Сжимаемость – это свойство жидкости изменять плотность (объём) при изменении давления и температуры. Для количественной оценки сжимаемости используются изотермический коэффициент сжимаемости β_p и коэффициент температурного расширения β_Τ. Причем, первый отражает относительное изменение плотности жидкости при изменении только давления (при T= Const), а второй – то же явление, но при изменении только температуры жидкости (при p= Const).

Для решения вопроса о необходимости учета сжимаемости при исследовании того или иного течения жидкости, т.е. для выбора модели – сжимаемой или несжимаемой жидкости, необходимо знать изменения давления и температуры в рассматриваемой области течения и оценить вызванное ими относительное изменение плотности. Обычно для многих задач прикладной газовой динамики, если они не связаны с исследованием пограничного слоя, учет температурного расширения жидкости не является актуальным; наибольший интерес представляет сжимаемость жидкости, обусловленная изменением давления.

Относительное изменение плотности ∆ρ/ρ при заданном изменении давления ∆p пропорционально изотермическому коэффициенту сжимаемости β_p и обратно пропорционально модулю упругости õ, поскольку β_p и õпо определению являются величинами обратными друг другу:

 

∆ρ/ρ = β_p ∆ p = ∆ p / õ– закон Гука для жидкости.

 

Сжимаемость свойственна всем жидкостям (и капельным и газам), однако её количественное проявление будет различным в зависимости от физических свойств среды. Капельные жидкости малосжимаемы или практически несжимаемы, поскольку их модули упругости достаточно велики (например, для воды õ = 2∙ 10⁹ Па).

По сравнению с капельными жидкостями сжимаемость газов очень велика: при атмосферном давлении и изотермическом процессе сжимаемость воздуха в 20 тысяч раз больше сжимаемости воды.

При изотермическом процессе течения газа:

 

T= Const; p/ ρ =RT=Const; dp/d ρ =p/ ρ

 

õ = d p / dρ/ρ= p/ρ/ρ= p,

т.е. сжимаемость газов тем больше, чем меньше давление. При атмосферном давлении модуль упругости воздуха õ = p =B= 10⁵ Па, что в 2·10⁴ раза меньше величины модуля упругости воды (см. выше).

 

При изоэнтропийном процессе течения газа:

 

p/ ρ ^k = Const;      dp/d ρ =kp/ ρ

 

õ = d p / dρ/ρ= k p,

т.е. сжимаемость газов определяется не только давлением, но и показателем изоэнтропы k, уменьшаясь с его увеличением.

Течение жидкости допустимо рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока относительное изменение плотности ∆ρ/ρ остается весьма малым, т.е. ∆ρ/ρ<<1.

При энергоизолированном движении жидкости изменение давления ∆ p, связанное с процессом течения, имеет величину такого же порядка, как и динамическое давление ρW²/2; поэтому ∆ρ/ρ≈ ρW²/2 õ. Таким образом, течение жидкости можно рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока динамическое давление остается весьма малым по сравнению с модулем упругости.

Если ввести в рассмотрение скорость звука a, которая согласно формуле Лапласа определяется равенством a²= õ /ρ, то условие ∆ρ/ρ<<1 можно переписать в виде   ∆ρ/ρ≈ ρW²/2 õ ≈ (W/a)²/2<<1. Отношение скорости течения W к скорости звука a называют числом Маха: М=W/a. Таким образом, течение можно рассматривать приближенно как несжимаемое если М ² /2 <<1, т.е. при условии, что число Маха мало по сравнению с единицей (обычно принято считать – при М ≤ 0.3 … 0.4), или другими словами, при условии, что скорость течения мала по сравнению со скоростью звука.

При М =0.3, например, относительное изменение плотности составит

 

∆ρ/ρ≈ М ²/2=0.3²/2≈0.05,

 

т.е. порядка 5%.

12. Вязкость и внутреннее трение в жидкости. Закон трения Ньютона

Вязкостью называется свойство всех реальных жидкостей (капельных и газов) оказывать сопротивление относительному сдвигу (деформации сдвига), т. е. изменению формы жидких частиц (но не их объёма).

Вязкость жидкости обусловлена взаимодействием молекул и проявляется только при движении жидкости, точнее, – при деформации жидкости (частиц жидкости). Если жидкость движется параллельными слоями (ламинарное течение), причем при этом происходит относительное скольжение соседних слоёв жидкости относительно друг друга (течение чистого сдвига), т.е. имеет место деформация чистого сдвига, то касательные напряжения между слоями могут быть описаны законом трения Ньютона.

При течении чистого сдвига касательное напряжение – напряжение трения τ (сила трения, действующая на выделенную поверхность, отнесенная к величине этой поверхности), пропорционально поперечному градиенту скорости ∂ w /∂y (скорости относительной деформации сдвига) и не зависит от абсолютной величины скорости, т.е. имеет значение лишь относительное движение слоёв жидкости. Этот факт был экспериментальным путем установлен Ньютоном и известен как закон о молекулярном трении в жидкости или закон трения Ньютона: τ = μ·∂ w /∂y, где коэффициент пропорциональности   μ   - называется динамическим коэффициентом вязкости или просто вязкостью. Жидкости, удовлетворяющие этому закону, называют ньютоновскими жидкостями. Для неньютоновских жидкостей (смолы или мёда, например) напряжения трения определяются по более сложным формулам. Наука, изучающая движение неньютоновских жидкостей, называется реологией.

В общем случае вязкость (величина μ) зависит от природы жидкости, её агрегатного состояния, температуры и давления. Однако зависимость от давления в широком диапазоне изменения давления для большинства реальных газов и капельных жидкостей оказывается слабой и ей можно пренебречь. Чем больше μ, тем больше вязкость жидкости.

Трение в капельных жидкостях заключается, главным образом, в преодолении сил взаимодействия между молекулами слоёв, смещающихся относительно друг друга. С увеличением температуры капельной жидкости увеличивается частота колебаний молекул и силы взаимодействия между ними уменьшаются, а вместе с ними уменьшается и вязкость. Наоборот, в газах с увеличением температуры вязкость возрастает, поскольку трение в газах обусловлено переносом направленного количества движения молекул при их тепловом хаотическом движении: с ростом температуры газа скорость хаотического движения молекул и число соударений возрастают, а вместе с этим увеличиваются перенос количества движения и вязкость газа.

Необходимо отметить, что рассмотренные выше слоистая модель течения и выведенный на её основе закон трения описывают весьма простой частный случай движения жидкости. Обобщением закона трения Ньютона на общий случай произвольного пространственного движения вязкой жидкости является закон трения Стокса, согласно которому напряжения, вызванные вязкостью, пропорциональны соответствующим скоростям деформации (тензор вязких напряжений пропорционален тензору скоростей деформаций).

G     При турбулентных режимах течения коэффициент трения приобретает совершенно иное содержание в соответствии с другим, значительно более сложным механизмом внутреннего трения, обусловленным наличием турбулентных пульсаций!!!