Безразмерные скорости: относительная и приведенная скорости, число Маха

 

Обычно скорость движения измеряется в метрах в секунду, километрах в час или каких-нибудь других единицах, имеющих размерность длина/время. Если же за единицу измерения скорости принять какую-либо из характерных скоростей, например скорость звука, то результат измерения будет выражаться безразмерным числом.          

Наиболее распространены три безразмерные скорости: число М, приведенная скорость λ и приведенная (относительная) скорость Λ. Приведенные скорости иначе называют коэффициентами скорости.

Числом М называется отношение скорости потока к местной скорости звука

 

M = w / a.                                           (2.50)

 

Впервые эта величина была использована в трудах профессора Петербургской артиллерийской академии Н.В.Маиевского (1868), затем этим отношением пользовался австрийский физик Э.Мах (1887). В связи с этим в советской технической литературе отношение _ часто называют числом Маиевского, в немецкой — числом Маха. Иногда в английской литературе эту величину называют числом Бэрстоу.

Приведенной скоростью, или коэффициентом скорости λ называется отношение скорости потока к критической скорости

λ = w / a _кр.                               (2.51)

 

Числом Λ или относительной скоростью  называется отношение скорости потока к максимальной скорости течения газа

Λ = w / w_max.                               (2.52)

 

Заметим, что величиной w ² / w ² _max = Λ² пользовался академик С.А. Чаплыгин еще в первых работах по газовой динамике. Поэтому ее иногда называют числом Чаплыгина.

Численное значение безразмерных скоростей может изменяться в следующем диапазоне:

 

число М                от 0 до ∞

число λ            от 0 до

число Λ                  от 0 до 1,

 

так как скорость потока может изменяться от 0 до w _mах, а местная скорость звука в том сечении, где w = w_max, равна нулю (потому что температура равна нулю).

Связь между приведенными скоростями λ и Λ устанавливается следующим путем:

следовательно,

                                              (2.53)

Для установления зависимости между приведенной скоростью и числом М возьмем отношение их квадратов

откуда

                                     (2.54)

или

                                       (2.55)

 

График зависимости приведенной скорости от числа М изображен на рис.15. Из графика видно, что значения М и λ численно совпадают при М=1 и М=0. Когда М−›∞, то приведенная скорость λ стремится ко вполне определенному пределу

Это значение легко получить, устремив число М к бесконечности. Тогда w стремится к максимальной скорости и λ — к величине w_max / a _кр, которая равна  (см. формулу (2.48)). Последняя является наибольшей из всех возможных величин λ и называется максимальной приведенной скоростью λ _мах. Для воздуха (k = 1,4) λ_max = 2,449.

 

Числа М, λ и Λ являются критериями подобия для сжимаемой жидкости. Так например, если в двух геометрически подобных каналах числа М на входе будут одинаковы, то отношения скоростей, давлений, температур, плотностей в двух сечениях одного канала будут равны соответствующим отношениям в двух сходственных сечениях другого канала.

 

 

 

Поскольку число М связано с приведенными скоростями λ и Λ однозначными зависимостями, то, вместо того, чтобы устанавливать одинаковые числа М на входе в каналы, можно установить одинаковые числа λ или одинаковые числа Λ. В этом случае подобие потоков также будет соблюдаться.

 

& [ 1 ] с.20…24. [ 3 ] с.42…47. [ 4 ] с.56..60. [ 5 ] с.416…418.

& [ 6 ] с.135…139. [ 7 ] с.49…51. [ 8 ] с.193..195.

Газодинамические функции

 

Зависимости между истинными параметрами состояния газа и параметрами торможения приобретают особенно удобный для расчетов вид, если их представить с помощью безразмерных скоростей М и λ. Для того чтобы получить эти зависимости, определим сначала отношения температур Т^*/Т и Т/Т^*

 

 

 

Отношения давлений и плотностей можно выразить с помощью уравнений изоэнтропного процесса (2.33)[4] через температуры. Тогда

 

                                                 (2.56)

                                       (2.57)

                                        (2.58)

и

                                    (2.59)

                          (2.60)

                          (2.61)

 

Величины τ(λ), π(λ), и ε(λ) называются газодинамическими функциями параметров торможения. Они заранее рассчитываются для всех значений приведенной скорости λ (или числа М) и сводятся в таблицы газодинамических функций. Последние составляются для различных значений показателя изоэнтропы k, соответствующих разным газам.

Для воздуха (при k = 1,4) формулы, связывающие истинные параметры состояния с параметрами торможения, имеют следующий вид:

                                                      (2.62)

                                      (2.63)

                                      (2.64)

                                                  (2.65)

                                           (2.66)                                              (2.67)

***

Пример расчета с помощью газодинамических функций параметров торможения

В потоке воздуха измерено: р = 101300 н/м² (нормальное давление),

р*= 143000 н/м²,

Т* = 324 ^о К.

Определить скорость потока w.   

Для воздуха показатель k=1,4; R=287,4.

1. Вычисляем .

2. По таблицам газодинамических функций для воздуха (k=1,4)

по величине π(λ)=0,7085 находим λ=0,75.

   3. Определяем критическую скорость   м/сек.

4. Определяем скорость w = λ a _кр =0,75∙329,6=247,2 м/сек.

   Как видно из приведенного примера, весь расчет сводится к очень простым операциям. Таблицы газодинамических функций особенно эффективны при массовых расчетах.

& [ 1 ] с.233…260. [ 3 ] с.40…54. [ 4 ] с.56..66. [ 5 ] с.415…424.

& [ 6 ] с.135…139. [ 7 ] с.49…56. [ 8 ] с.188..197; с.200…201.