Название практической работы

«Параллельное и ортогональное проектирование. Изображение пространственных фигур»

Цель занятия: рассмотреть понятие параллельного и ортогонального проектирования точки и фигуры на плоскости; рассмотреть свойства параллельного проектирования; показать учащимся наиболее наглядные способы изображения фигур на плоскости.

В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование (в черчении говорят «проецированием»).

Пусть π - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая. Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью π называется параллельной проекцией точки A на плоскость π в направлении прямой l. Обозначим ее A '. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость π считается точка пересечения прямой l с плоскостью π.

Плоскость π будем называть плоскостью проекций. Прямая l определяет направление проектирования. Все параллельные ей прямые называются проектирующими.

Точки, принадлежащие плоскости π, совпадают со своими проекциями на эту плоскость

Свойства параллельного проектирования.

Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.

Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой.

 

Свойство 4. Проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой – свойство принадлежности.

 

Ортогональная проекция.

Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекции П’.

В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции. Если отрезок AB образует с плоскостью проекций угол α, то, проведя AB*║A’ B’ (рис.2), получим из прямоугольного треугольника AB*B, что AB*=ABcos α или A’ B’= ABcos α.

Так как ортогональное проецирование – разновидность параллельного, то ему присущи те же свойства.

 

Изображение плоских фигур.

Закрепление изученного.