Название практической работы

«Решение тригонометрических уравнений»

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения», проверить умение пользоваться различными методами для решения конкретных задач.

Контрольные вопросы.

1. Определение обратных тригонометрических функций.

2. Решение простейших тригонометрических уравнений.

3. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

1. Понятие однородного уравнения и алгоритм решения однородных уравнений.

2. Алгоритм решения тригонометрических уравнений с помощью формул понижения степени.

3. Решение тригонометрических уравнений методом группировки и разложения на множители.

4. Решение тригонометрических уравнений методом преобразования сумм в произведение и произведения в суммы.

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений.

1. Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.

2. Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.

3. Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.

4. Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Пример 1. Решить простейшее тригонометрическое уравнение. Используя блок-схему для решения тригонометрических уравнений, получим

Решить уравнение sin2x =   Решение 2x = 2x = x =

Решить уравнение    Решение

Пример 2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным:

A sin² х + В sin х + С =0 или A sin² х + В cos х + С =0

Решить уравнение sin^2 х + 5 sin х - 6 =0.  Решение Введем замену sin х = z, решая квадратное уравнение  z^2 + 5 z - 6 = 0, получим  z1 = 1; z2  = -6 Вернемся к замене и получим: 1) sin х = 1 Решением уравнения являются числа вида х = +2πn, n  Z. 2) Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как .

- При решении уравнения вида A sin^2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin^2 х = 1 - cos^2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему. - При решении уравнения вида A cos^2 х + В sin х + С =0 вводим замену cos^2 х = 1 - sin^2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему. Решить уравнение 2 sin^2 х + 3 cos х -3 =0. 2 (1 - cos^2 х) +3 cos х -3 =0. - 2 cos^2 х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)  2 cos^2 х - 3 cos х + 1 = 0  Замена cos х= t Решая квадратное уравнение 2 t ^2 - 3t +1 = 0,  находим t1 = 1; t2  = 0,5 Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2πn, n   Z. Решением уравнение cosх= 0,5 являются числа вида  х = ± + 2π n, n   Z

Пример 3.

а) Однородное тригонометрическое уравнение первого порядка . Разделив обе части уравнения на cosx≠0, получим уравнение вида равносильное данному.

б) Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка   

А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на cos² x ≠ 0, получим уравнение вида А tg ²x + В tg x + С = 0.

Выполнить следующие задания