Дайте определение пары вращений. Докажите какому движению эквивалентна пара вращений

Парой вращений (омега', —омега) называется совокупность двух вращений твердого тела относительно параллельных осей О1Z1 и O2Z2 с равными по величине, но противоположно направленными угловыми скоростями (рис. 2.63).

Для произвольной точки М ее абсолютная скорость

 (1) или, учитывая, что имеем (2) Векторы омега и О1О2 не зависят от положения точки М и поэтому из (2) с учетом произволь­ности выбора точки М следует, что скорости всех точек тела одинаковы. Таким свойством обладает только поступательное движение. Формулу (2) можно переписать так: (3)

Векторное произведение, стоящее правой части равенства (3), называется моментом пары вращения, который так же, как и момент пары сил, является свободным вектором. Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно-поступательному движению со скоростью, равной моменту пары угловых скоростей.

Легко заметить, что совокупность N пар вращений экви­валентна одной паре, т.е. поступательному движению, а любое мгновенно-поступательное движение можно представить как мгновенную пару вращений.

Пользуясь понятием пары вращений, рассмотрим, как вектор угловой скорости можно переносить параллельно самому себе из одной точки А пространства в другую точку В.

Пусть в точке А задан вектор угловой скорости . При­соединим к произвольно выбранной точке В систему двух векто­ров , которые равны по величине вектору омега А и лежат на оси, параллельной омега А.Тогда векторы образуют пару вращений, которую можно заменить свободным вектором - мо­ментом пары . Следовательно, не изменяя движения тела, вектор угловой скорости его вращения можно переносить параллельно самому себе в любую точку тела, присоединяя при этом соответствующий момент пары вращений.

Вопрос № 33Сложение вращений твердого тела относительно параллельных осей. Рассмотреть случай, когда угловые скорости направлены в одну сторонуПредположим, что тело вращается с угловой скоростью (омега2 вокруг оси z2 системы координат O2x2y2Z2, которая вращается с угловой скоростью омега 1 вокруг оси Z1 неподвижной системы ко­ординат О1Х1У1Z1, причем оси Z1 и z2 параллельны. Скорость произвольной точки М тела (1)

Скорости Ve, Vr и VM лежат в плоскости, перпендикулярной осям Z1 и z2, а это означает, ввиду произвольности точки М, что тело движется плоско параллельно.

Найдем в плоскости Х1О1У1 мгновенный центр вращения. Для точки Р, лежащей на прямой O1O2 Ve и Vr коллинеарны и направлены в разные стороны тогда, когда точка Р лежит между О1 и O2 (в случае, если омега1, и омега2 направлены в одну сторону) или за точкой О2 (в случае, если омега 1 и омега 2 направлены в разные стороны, при этом. Омега 2 больше омеге 1) (рис. 2.54). Для того, чтобы их геометриче­ская сумма была равна нулю, нужно чтобы

 (2)Т.е. точка Р (мгновенный центр скоростей) делит отре­зок О1О2 внутренним или внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. В каждом случае скорость точки Р равна нулю: (3)

Вернемся теперь к равенству (1), которое перепишем с учетом того, что(4)

 (5) Раскрывая скобки и используя равенство (3), получим

 (6)

С другой стороны, при плоскопараллельном движении (7) Сравнивая (6) и (7), получим (8)

Таким образом, мы доказали, что совокупность двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей, не образую­щих пару вращений, эквивалентна одному вращению вокруг мгно­венной оси с угловой скоростью, равной векторной сумме угло­вых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось делит расстояние между осями составляющих вращений (внутренним или внешним образом) на части, обратно пропорциональные мо­дулям угловых скоростей, в зависимости от тоге, в одну или разные стороны направлены векторы этих скоростей.

Если векторы угловых скоростей омега 1 и омега 2 направлены в одну сторону, то если в разные, - то и

направлена в сторону большей из угловых скоростей.

Мгновенный центр скоростей, так же как и центр парал­лельных сил, не изменяет своего положения при повороте осей вращения (векторов омега 1 и омега 2) на один и тот же угол в пространст­ве, если только их точки приложения О1 и О2 фиксированы.

Вопрос № 34