Дайте определение каждой из осей естественного координатного трехгранника и радиуса кривизны траектории в данной точке

Вопрос № 2

Вывести формулу для определения скорости точки при векторном способе задания её движения

Пусть в некоторый момент времени t положение точки М определяется радиус-вектором r(t), а в момент - радиус-

вектором (рис. 2.4). Тогда перемещение точки М за

промежуток времени

Будем считать, что промежуток времени дел.t настолько мал, что с достаточной степенью точно­сти можно предполагать перемещение точки М в положение М1, происходящим равномерно и прямолинейно. В этом слу­чае скорость точки М можно приближен­но вычислить так:

 (1)

Для того, чтобы точно вычислить скорость точки в данный мо­мент времени, необходимо в формуле (1) перейти к пределу при стремлении промежутка времени ' к нулю, т.е.

 (2)

Этот предел представляет собой первую векторную про­изводную по времени от радиус-вектора точки по времени. Сле­довательно, скорость точки в данный момент времени есть век­торная величина, равная первой производной от радиус-вектора точки по времени

 (3)

Как следует из формул (2) и (3), вектор скорости направ­лен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

 

Вопрос №3

Вывести формулы определения скорости точки при координатном способе задания её движения

Рассмотрим движение точки относительно прямоуголь­ной системы координат (рис. 2.5). В этом случае координаты точ­ки заданы как функции времени:

 (1)

Разложим радиус-вектор r по ортам декартовой системы координат:

 (2)

Зная, что вектор скорости V равен пер­вой производной от радиус-вектора, продифференцируем равенство (2) по времени. В результате получим разло­жение скорости по ортам i,j, к:

(3)

 С другой стороны, разложение вектора скорости V по ортам i,j, k можно представить так:

(4)

где Vх., Vх, Vx –проекции вектора скорости V на оси координат. Сравнивая формулы (3) и (4), находим

 (5)

Таким образом, проекции скорости на неподвижные де­картовы оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.

Из равенства (5) следует, что проекции скорости точки

на координатные оси равны скорости проекции этой точки те же оси. Зная проекции вектора скорости точки V, найдем его мо­дуль:

 (6)

Для определения направления вектора скорости восполь­зуемся направляющими косинусами:

 (7) где Vx, Vy, Vz, и V определяются равенствами (5) и (6).

 

 

Вопрос № 4

Вывести формулу для определения скорости точки при естественном способе задания её движения

Определим скорость точки, предполагая, что ее движе­ние задано естественным способом. Поэтому будем полагать, что известны траектория движения и закон движения точки по траек­тории s = s(t) (рис. 2.6). Каждой точке траектории соответствует определенный радиус-вектор r (t) Так как положение каждой точки траектории определяется дуговой координатой S, то ради­ус-вектор r можно рассматривать как сложную функцию времени t. Тогда

 (1) Найдем теперь вектор скорости V точки:

 (2)

Известно, что Далее,

так как направлен пределе

(при дел. S-»0) совпадает с касательной к

траектории в точке М, то вектор есть             

единичный вектор касательной к траектории (ее орт), направлен­ный в сторону возрастания криволинейной координаты s. Обо­значая орт касательной Т°, запишем формулу (2) в виде

(3)

Эта формула определяет вектор скорости при естествен­ном способе задания движения точки Умножая скалярно обе части равенства (3) на т° и учитывая, что получим

 (4)

т.е. проекция вектора скорости точки на направление касатель­ной к траектории равна первой производной по времени от кри­волинейной координаты s пo времени. Тогда формулу (3) можно записать так:

 (5)

 

Из формулы(5) следует что модуль скорости V=|Vt|.

 Если Vt > 0, то точка движется в положительном направлении отсчета расстояний и VT=V Если же Vт < 0, точка движется в от­рицательном направлении и Vт = — V. Таким образом, модуль век­тора скорости IVI (или V) точки равен модулю ее проекции на направление касательной

 (6)

В качестве примера применения формулы (6) рассмотрим скорость точки М при ее движении по окружности радиуса R (рис. 2.7). Скорость точки М в случае ее движения в положительном направлении отсчета расстояний будет иметь численное        значение

    (7)

так как Величина (8)

называется угловой скоростью вращения радиуса ОМ = R. Таким

образом, при движении по окружности (9)

Направлена скорость по касательной к окружности, следователь­но, перпендикулярно радиусу ОМ.

 

Вопрос № 5

Вывести формулу для определения ускорения точки при векторном способе задания её движения

Ускорение - физическая величина, характеризующая бы­строту изменения скорости точки во времени.

Пусть точка в момент времени t находится в положении М и имеет скорость V (t), а в момент t1= t + дл.t приходит в поло­жение М1 и имеет скорость V1 (рис. 2.8). Тогда за промежуток времени At = t1— t вектор скорости получает векторное прираще­ние Дл = V1—V, которое определяет изменение вектора скорости и по величине, и по направлению. Для определения приращения скорости дл.V перенесем вектор V1 параллельно своему направле нию в точку М. Далее, соединпе концы векторов V и V1, получим дл.V. Разделив вектор дл.V на соответствующий промежуток време­ни дл.t, получим вектор

 (1)

который называется вектором среднего ускорения за промежуток времени t. Вектор среднего уско­рения характеризует особенности движения точки тем точнее, чем меньшему промежутку времени он соответствует. Поэтому естествен­но рассмотреть предел, к которому стремится среднее ускорение, если соответствующий промежу­ток времени At стремится к нулю. Этот предел называют ускорением точки в данный момент времени:

 (2)

Так как вектор скорости есть первая производная радиус-вектора точки по времени, то

 (3)

Таким образом, ускорение точки в данный момент вре­мени, есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени.

Установим теперь положение вектора ускорения а отно­сительно траектории. Отметим, что плоскость треугольника МАВ, образованного векторами V, V1, AV, при At—0) будет поворачи­ваться вокруг вектора V, т.е. вокруг касательной к траектории в точке М, ив пределе займет определенное предельное положе­ние. Это предельное положение плоскости МАВ называется со­прикасающейся плоскостью в точке М траектории. Для плоской кривой эта плоскость есть плоскость самой кривой.

Как видно из рис. 2.8, вектор среднего ускорения аср на­правлен так же, как и AV, т.е. в сторону вогнутости траектории точки, и все время находится в плоскости треугольника МАВ.

 

 

Вопрос № 6

Вывести формулы для определения ускорения точки при координатном способе задания её движения

Рассмотрим движение точки М относительно неподвиж­ной прямоугольной декартовой системы координат (см. рис. 2.5). В этом случае ее движение задано следующим образом:

 (1)

 Разложим радиус-вектор точки по ортам осей Oxyz: (2)

Дифференцируя равенство (2) дважды по времени, полу­чим(3)Или, обозначая вторые производные по-времени двумя точками, получим разложение ускорения по осям декартовой системы координат в следующем виде: (4) С другой стороны, известно, что (5)Сравнивая равенства (4) и (5), находим формулы для вычисления проекций ускорения на оси декартовой системы координат: (6)Так как Vx= х, Vy= у, Vz= z, то формулы (6) можно пред­ставить еще и так: О)

Т.е. проекции вектора ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответ­ствующих проекций вектора скорости или вторым производным от соответствующих координат точки.

По этим проекциям определяем величину и направление вектора ускорения:(8) (9)Если во все время движения точка остается в одной плоскости, например в плоскости Оху, то в этом случае во всех формулах нужно положить z = 0.

Вопрос № 7

Вопрос № 10

Вопрос № 11

Вопрос № 12 Дайте определение вращательного движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Как задается это движение. Докажите формулы угловой скорости и углового ускорения тела. Как связана угловая скорость и число оборотов в минуту

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела описывают кон­центрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Рассмотрим вопрос о зада­нии уравнения, или закона вращательного движения. Пусть ось Oz является неподвиж­ной осью, вокруг которой вращается тело. Проведем через ось Oz две плоскости: под­вижную Р и неподвижную Q (рис. 2.20). По­ложение вращающегося тела может быть опре­делено двугранным углом ф между этими плос­костями. Назовем угол ф углом поворота тела и условимся считать положительным, если, глядя с положительного конца оси z, угол ф виден отложенным от неподвижной плоскости против хода часовой стрелки. Угол поворота тела обычно измеряют в радианах. Иногда в практических задачах этот угол выражают числом оборотов N тела. Так как один оборот тела соответствует 2П радиан, то получаем зависимость (1)

При вращении тела угол поворота изменяется с течением времени, т.е. (2)Равенство (2) называется уравнением, или законом вра­щательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.Рассмотрим теперь основные кинематические величины, характеризующие вращательное движение тела. Этими величи­нами являются угловая скорость тела омега и угловое ускорение е.Угловой скоростью тела называется физическая вели­чина, характеризующая быстроту изменения угла поворота <р тела во времени, т.е. (3)В самом деле, пусть за промежуток времени дл.t; угол по­ворота ср получил приращение дл.ФИ. Тогда средняя угловая ско­рость определится равенством (4)Предел этого отношения при дл.t—>0 называют угловой скоростью тела в данный момент времени (5)Мы вновь пришли к равенству (3). Итак, угловая ско­рость тела равна первой производной по времени от угла пово­рота тела. Значение угловой скорости омега для данного момента времени может быть положительным или отрицательным в зави­симости от того, возрастает или убывает угол поворота тела.Если то тело в данный момент времени вращается

в положительном направлении отсчета угла поворота ф, т. е. про­тив движения часовой стрелки.Размерность угловой скорости В технике угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обо­значают буквой п. Замечая, что п об/мин соответствует п/60 об/с и что 1 оборот соответствует 2П радианам, получим: (6)Угловым ускорением называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела во времени: (7)Эту меру быстроты изменения угловой скорости можно получить как предел приращения угловой скорости к прираще­нию времени: (8)Таким образом, угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной по времени от угловой скоро­сти или второй производной от угла поворота.Размерность углового ускорения Если знаки угловой скорости и углового ускорения одинаковы, то вращение тела в данный момент ускоренное, если же знаки омега и е различны, вращение замедленное.

Вопрос № 14, 15

Вывести формулу для определения скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Вывести формулы для определения ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Пусть вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением (1) Найдем распределение скоростей точек тела при его вращении. Воспользуемся при этом естественным способом за­дания движения точки. Рассмотрим движение какой-нибудь точ­ки М тела. При вращении тела точка М будет описывать окруж­ность, радиус которой обозначим R (рис. 2.21).

Составим уравнение движения точки М по ее траекто­рии. За начало отсчета примем начальное положение Мо, а за по­ложительное направление дуги s - направ­ление отсчета угла поворота ф. Тогда урав­нением движения точки М по ее траектории будет (2) а следовательно, проекция скорости точки М на направление касательной определится следующим образом:

(3) или

 (4) Эту скорость точки М, в отличие от угловой скорости тела, часто называют линейной скоростью. Та­ким образом, линейная скорость какой-либо точки вращающего­ся твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Вектор V скорости точки М направлен по касательной к окружности, которую описывает точка М, т.е. перпендикулярен к радиусу этой окружности. Модуль V вектора скорости V равен

 (5)

Так как угловая скорость со является кинематической ха­рактеристикой всего тела в целом, то из формулы (5) следует, что скорости точек тела пропорциональны расстояниям этих точек до оси вращения.

Ускорение точки М находим, определив сначала каса­тельное и нормальное ускорения:

Тогда модуль полного ускорения точки М (7)

Угол, образованный вектором ускорения точки М с ра­диусом описываемой точкой окружности, определяется так:

 (8)

Из формулы (8) следует, что ускорения точек вращающе­гося тела образуют в данный момент один и тот же угол а с ра­диусами описываемых ими окружностей. В частном случае рав­номерного вращения Е=0, поэтому А=0 и, следовательно, полное ускорение по модулю равно нормальному и направлено к оси вращения.

 

Вопрос № 16, 17

Вывести векторную формулу для скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Вывести векторные формулы для ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси и провести их анализ

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг непод­вижной оси Oz с угловой скоростью Определим скорость произвольной точки М этого тела. Введем прямоугольную систему координат с началом на оси вращения и неизменно связанную с те­лом (рис. 2.22).В этом случае

 (1)

Здесь следует заметить, что в разло­жении (1) х, у, z и вектор k постоянны, т.е. не зависят от времени, a i и j зависят от времени, так как вращаются вместе с телом.

Тогда для скорости точки М имеем(2)

Производные от единичных векторов, входящие в формулу (2), есть скорости концов этих векторов. Например, при ф > О вектор скорости конца i направлен парал­лельно j в положительном направлении оси Оу, а вектор скорости

конца j направлен параллельно i в отрицательном направлении оси Ох. Модуль каждой из этих скоростей равен \ф\.

Тогда

Далее, учитывая, что j =k*x, a -i =k * j, получим

 (3)

Подставляя формулы (3) в равенство (2) и используя то,

что , найдем

(4)

Назовем вектор фк вектором угловой скорости со, тогда

 (5)

Как видно из равенства (5), вектор угловой скорости те­ла направлен вдоль оси вращения так, чтобы наблюдатель, смотрящий с его конца, видел вращение тела против хода часо­вой стрелки.

Вектор ф можно расположить в любом месте оси враще­ния, т.е. ф — скользящий аксиальный вектор.

Перепишем теперь формулу (4) с учетом (5), тогда

 (6)

Вектор скорости любой точки тела, вращающегося во­круг неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, проведен­ный из произвольного центра, взятого на оси вращения. Формула (6) называется формулой Эйлера.

 

Вопрос № 18

Вопрос № 19

Вопрос № 20

Вопрос № 21

Вопрос № 22

Вопрос № 23

Опишите частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей

1, Пусть скорости Va и Vb любых двух течек А к В парал­лельны друг другу и при этом линия АВ не перпендикулярна к VA, а следовательно, и к VA (рис. 2.34). Из теоремы о проекциях ско­ростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, следует, что но а = B, поэтому VB = VA и, следовательно, Vb = VA.

Таким образом, в рассматриваемом случае скорости всех точек плоской фигуры в данный момент равны и по модулю, и по направлению. Такое состояние плоской фи­гуры называется мгновенно поступатель­ным. Так как перпендикуляры, восстанов­ленные из точек А и В к скоростям этих то­чек, не пересекаются, то в рассматриваемом случае в данный момент мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Уг­ловая скорость со плоской фигуры в этот момент равна нулю.

2. Пусть скорости VA и Vb точек А и В параллельны друг другу и эти точки лежат на одном перпендикуляре к данным ско­ростям. В этом случае при VA не = Vb мгновенный центр скоростей Р определяется построениями, показанными на рис. 2.35, а и б.

Справедливость построения следует из пропорции (6) предыдущего параграфа. Е этом случае для нахождения мгно­венного центра скоростей Р нужно, кроме направлений, знать еще и модули скоростей Va и Vb.

3. Е практических задачах часто приходится иметь дело со случаем, когда плоская фигура катится без скольжения по не­которой неподвижной кривой MN (рис. 2.36).

В этом случае скорость точки касания контура плоской фигуры с кривой MN равна нулю, так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые ско­рости, а кривая MN неподвижна. Отсюда следует, что точка каса­ния Р является мгновенным центром скоростей плоской фигуры. В качестве примера на рис. 2.37 показано распределение скоро­стей точек колеса, которое катится без скольжения по неподвиж­ному прямолинейному рельсу.

 

 

Вопрос № 24

Докажите формулу распределения ускорений точек плоской фигуры

Пусть плоская фигура (S) движется относительно непод­вижной системы координат Оху. В этой системе положения по­люса А и произвольной точки В определяются соответственно радиус-векторами rА и rB (рис. 2.39).

Скорость произвольной точки В можно определить с по­мощью формулы распределения скоростей

 (1)

где р =АВ радиус-вектор, проведенный из полюса А в точку В. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим

 (2)

Здесь , т.е. соответственно равны ускорениям полюса А и точки В. Производная есть вектор углового ускорения фигуры,направленный (как и (О) перпендикулярно к плоскости фигуры.

Кроме того, согласно формуле дифференцирования век­тора, постоянного по модулю (см. формулу (а), п. 2.16),

 . Тогда последнее слагаемое формулы (2), раскрыв двойное векторное произведение, можно представить так

 (3)

(4)

В результате равенство (2) окончательно можно записать так:

 (5) Введем обозначения:

 (6)

Векторы A^tba и Aⁿba представляют те касательное и нормальное ускорения, которые имела бы точка В, если бы фигура (S) совер­шала только вращение вокруг полюса А. Вопрос о направлении этих векторов изучен нами ранее, однако, пользуясь правилом составления векторного произведения, легко убедиться, что Aⁿba имеет направление, совпадающее с вектором SA (от точки к полюсу), а A^tba - перпендикулярно ВА.

Модули этих векторов определяются так:

 

 (7)

Используя обозначения (6), окончательно находим фор­мулу распределения ускорений

(8) или

(9)

где

 (10)Таким образом, ускорение любой точки В плоской фигу­ры в каждый данный момент равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения произвольного полюса А и ускорения точки В в ее вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса.Так как модуль ускорения точки В при вращении фигуры вокруг полюса А находится так:  (И)

Угол M., который образует вектор Aba с направлением ВА, определяется из следующего равенства:

(12)

Этот угол M одинаков для всех точек плоской фигуры. Получен­ные результаты позволяют построить вектор Ab так, как это пока­зано на рис. 2.40.

Вопрос № 27

Вопрос № 28

Вопрос № 30

Вопрос № 34

Вопрос № 2

Вывести формулу для определения скорости точки при векторном способе задания её движения

Пусть в некоторый момент времени t положение точки М определяется радиус-вектором r(t), а в момент - радиус-

вектором (рис. 2.4). Тогда перемещение точки М за

промежуток времени

Будем считать, что промежуток времени дел.t настолько мал, что с достаточной степенью точно­сти можно предполагать перемещение точки М в положение М1, происходящим равномерно и прямолинейно. В этом слу­чае скорость точки М можно приближен­но вычислить так:

 (1)

Для того, чтобы точно вычислить скорость точки в данный мо­мент времени, необходимо в формуле (1) перейти к пределу при стремлении промежутка времени ' к нулю, т.е.

 (2)

Этот предел представляет собой первую векторную про­изводную по времени от радиус-вектора точки по времени. Сле­довательно, скорость точки в данный момент времени есть век­торная величина, равная первой производной от радиус-вектора точки по времени

 (3)

Как следует из формул (2) и (3), вектор скорости направ­лен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

 

Вопрос №3

Вывести формулы определения скорости точки при координатном способе задания её движения

Рассмотрим движение точки относительно прямоуголь­ной системы координат (рис. 2.5). В этом случае координаты точ­ки заданы как функции времени:

 (1)

Разложим радиус-вектор r по ортам декартовой системы координат:

 (2)

Зная, что вектор скорости V равен пер­вой производной от радиус-вектора, продифференцируем равенство (2) по времени. В результате получим разло­жение скорости по ортам i,j, к:

(3)

 С другой стороны, разложение вектора скорости V по ортам i,j, k можно представить так:

(4)

где Vх., Vх, Vx –проекции вектора скорости V на оси координат. Сравнивая формулы (3) и (4), находим

 (5)

Таким образом, проекции скорости на неподвижные де­картовы оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.

Из равенства (5) следует, что проекции скорости точки

на координатные оси равны скорости проекции этой точки те же оси. Зная проекции вектора скорости точки V, найдем его мо­дуль:

 (6)

Для определения направления вектора скорости восполь­зуемся направляющими косинусами:

 (7) где Vx, Vy, Vz, и V определяются равенствами (5) и (6).

 

 

Вопрос № 4

Вывести формулу для определения скорости точки при естественном способе задания её движения

Определим скорость точки, предполагая, что ее движе­ние задано естественным способом. Поэтому будем полагать, что известны траектория движения и закон движения точки по траек­тории s = s(t) (рис. 2.6). Каждой точке траектории соответствует определенный радиус-вектор r (t) Так как положение каждой точки траектории определяется дуговой координатой S, то ради­ус-вектор r можно рассматривать как сложную функцию времени t. Тогда

 (1) Найдем теперь вектор скорости V точки:

 (2)

Известно, что Далее,

так как направлен пределе

(при дел. S-»0) совпадает с касательной к

траектории в точке М, то вектор есть             

единичный вектор касательной к траектории (ее орт), направлен­ный в сторону возрастания криволинейной координаты s. Обо­значая орт касательной Т°, запишем формулу (2) в виде

(3)

Эта формула определяет вектор скорости при естествен­ном способе задания движения точки Умножая скалярно обе части равенства (3) на т° и учитывая, что получим

 (4)

т.е. проекция вектора скорости точки на направление касатель­ной к траектории равна первой производной по времени от кри­волинейной координаты s пo времени. Тогда формулу (3) можно записать так:

 (5)

 

Из формулы(5) следует что модуль скорости V=|Vt|.

 Если Vt > 0, то точка движется в положительном направлении отсчета расстояний и VT=V Если же Vт < 0, точка движется в от­рицательном направлении и Vт = — V. Таким образом, модуль век­тора скорости IVI (или V) точки равен модулю ее проекции на направление касательной

 (6)

В качестве примера применения формулы (6) рассмотрим скорость точки М при ее движении по окружности радиуса R (рис. 2.7). Скорость точки М в случае ее движения в положительном направлении отсчета расстояний будет иметь численное        значение

    (7)

так как Величина (8)

называется угловой скоростью вращения радиуса ОМ = R. Таким

образом, при движении по окружности (9)

Направлена скорость по касательной к окружности, следователь­но, перпендикулярно радиусу ОМ.

 

Вопрос № 5

Вывести формулу для определения ускорения точки при векторном способе задания её движения

Ускорение - физическая величина, характеризующая бы­строту изменения скорости точки во времени.

Пусть точка в момент времени t находится в положении М и имеет скорость V (t), а в момент t1= t + дл.t приходит в поло­жение М1 и имеет скорость V1 (рис. 2.8). Тогда за промежуток времени At = t1— t вектор скорости получает векторное прираще­ние Дл = V1—V, которое определяет изменение вектора скорости и по величине, и по направлению. Для определения приращения скорости дл.V перенесем вектор V1 параллельно своему направле нию в точку М. Далее, соединпе концы векторов V и V1, получим дл.V. Разделив вектор дл.V на соответствующий промежуток време­ни дл.t, получим вектор

 (1)

который называется вектором среднего ускорения за промежуток времени t. Вектор среднего уско­рения характеризует особенности движения точки тем точнее, чем меньшему промежутку времени он соответствует. Поэтому естествен­но рассмотреть предел, к которому стремится среднее ускорение, если соответствующий промежу­ток времени At стремится к нулю. Этот предел называют ускорением точки в данный момент времени:

 (2)

Так как вектор скорости есть первая производная радиус-вектора точки по времени, то

 (3)

Таким образом, ускорение точки в данный момент вре­мени, есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени.

Установим теперь положение вектора ускорения а отно­сительно траектории. Отметим, что плоскость треугольника МАВ, образованного векторами V, V1, AV, при At—0) будет поворачи­ваться вокруг вектора V, т.е. вокруг касательной к траектории в точке М, ив пределе займет определенное предельное положе­ние. Это предельное положение плоскости МАВ называется со­прикасающейся плоскостью в точке М траектории. Для плоской кривой эта плоскость есть плоскость самой кривой.

Как видно из рис. 2.8, вектор среднего ускорения аср на­правлен так же, как и AV, т.е. в сторону вогнутости траектории точки, и все время находится в плоскости треугольника МАВ.

 

 

Вопрос № 6

Вывести формулы для определения ускорения точки при координатном способе задания её движения

Рассмотрим движение точки М относительно неподвиж­ной прямоугольной декартовой системы координат (см. рис. 2.5). В этом случае ее движение задано следующим образом:

 (1)

 Разложим радиус-вектор точки по ортам осей Oxyz: (2)

Дифференцируя равенство (2) дважды по времени, полу­чим(3)Или, обозначая вторые производные по-времени двумя точками, получим разложение ускорения по осям декартовой системы координат в следующем виде: (4) С другой стороны, известно, что (5)Сравнивая равенства (4) и (5), находим формулы для вычисления проекций ускорения на оси декартовой системы координат: (6)Так как Vx= х, Vy= у, Vz= z, то формулы (6) можно пред­ставить еще и так: О)

Т.е. проекции вектора ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответ­ствующих проекций вектора скорости или вторым производным от соответствующих координат точки.

По этим проекциям определяем величину и направление вектора ускорения:(8) (9)Если во все время движения точка остается в одной плоскости, например в плоскости Оху, то в этом случае во всех формулах нужно положить z = 0.

Вопрос № 7

Дайте определение каждой из осей естественного координатного трехгранника и радиуса кривизны траектории в данной точке

Рассмотрим пространственную кривую. Предельное по­ложение секущей, проходящей через точки М и M1 кривой, когда точка M1 стремится к точке М, называется касательной к кри­вой в данной точке М. Перпендикуляр к касательной в точке М называется нормалью к кривой в этой точке. Геометрическое место нормалей к данной кривой в данной точке называется нормальной плоскостью. Линия пересечения нормальной и сопри­касающейся плоскостей называется главной нормалью. Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью.

Обозначим единичные векторы: касательной через т°, главной нормали n° и бинормали b°. Через эти векторы проходят плоскости: (т°, n0) - соприкасающаяся, (n0, Ь°) - нормальная и (b°, т°) - спрямляющая. Три взаимно перпендикулярных направ­ления, которые определяются векторами т°, n° и b°, образуют ес­тественную систему координат, или так называемый естествен­ный, или подвижный, трехгранник. Направление т°, n0 и b° определяются так же как направление координатных осей, т.е. по

 правой системе, при этом единичный вектор главной нормали всегда направлен в сторону вогнутости кривой (рис. 2.9).

Проведем теперь в двух точках кривой М и М1 единич­ные векторы касательных т° и т1°.Угол между этими касательны­ми называется углом смежности. Обозначим этот угол через дл.8, а длину дуги ММ1 через дл,s (рис. 2.10). Предел отношения дл.8 и дл.s при дл.s-*0, т.е. (1)называется кривизной кривой в данной точке М.

Найдем кривизну окружности радиу­са R. Возьмем на окружности дугу АВ = дл.s и проведем в точках А и В касательные к ок­ружности (рис. 2. 11). Тогда(2)