Вопрос № 8,9 докажите формулы разложения ускорения по естественным осям координат. 9. Запишите формулы касательного и нормального ускорения точки и проведите их анализ.

Вектор скорости точки можно представить в виде
v=vt*t°.               (1)

В правой части этого равенства с течением времени изменяются оба множителя: и проекция вектора скорости на касательную v_т, и на­правление единичного вектора t°. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим

(2)

dv dv_x         d t°

---- =----- - t° +vt  —

dt dt              dt

(3)

Первое слагаемое представляет собой вектор, направленный по касательной. Чтобы определить второе слагаемое, будем рас­сматривать вектор t° как функцию дуговой координаты s. Тогда

 

 

d t°

Вектор -------, входящий в равенство (3), всегда направлен в

ds

сторону вогнутости траектории точки и, как видно из рис. 2.13, лежит в соприкасающейся плоскости. Действительно, приращение вектора t° (см. рис. 2.13) Дл t° = t°1 - t° лежит в плоскости треугольника МАВ. Если

(4)

точка М1 —> М, эта плоскость, вращаясь вокруг неподвижного вектора t°, стремится к предельному положению, т.е. к соприкасающейся плоскости. Далее, дифференцируя тождество t°* t° = 1 по s, получим

 

а это есть условие перпендикулярности векторов сомножителей.

Таким образом, рассматриваемый вектор лежит в соприка­сающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен вектору t°. Следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны, т.е. по направлению орта п°. Поэтому

Из треугольника МАВ находим модуль этого вектора

Переходя в последнем равенстве к пределу при As—>0, найдем  поэтому

Тогда окончательно

                                           (6)

Подставляя найденное выражение вектора из (6) в равенство (2) и учитывая что , получим (7)

Формула (7) представляет собой разложение ускорения точки М по ортам естественного трехгранника. Составляющие вектора ускорения по направлениям т° и п° соответственно равны (рис. 2.14)

 (8)

Проекция ускорения на направление касательной (9) называется касательным, или тангенциальным ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль (10) называется нормальным ускорением.

Так как ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль рав­на нулю. Модуль ускорения, на основании формул (9) - (10), будет

Угол между вектором а и главной нормалью можно оп­ределить так:

Анализ формул (9) и (10) показывает, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное ускорение — изменение скорости по направлению.

Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. Если vt и аt одного знака, движение называется ускоренным, если же vt и аt разных знаков - замедленным. При аt = 0 движение равномерное.

Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении (р = бескон-ть), в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, когда скорость точки обращается в нуль.

В заключение отметим, что модули тангенциального и нормального ускорений также можно определить и в случае за­дания движения точки координатным способом.

В самом деле, вспоминая определения модулей скаляр­ного и векторного произведений и представляя единичный вектор

касательной, следующей формулой t°= v /|v| запишем

Значения этих выражений определяются непосредствен­ным дифференцированием закона движения точки, заданного координатным способом.

Вопрос № 10