Вопрос № 25. Дайте определение мгновенного центра ускорений. Как определяется его положение. Как оп-ределяются ускорения точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра ускорений.

При непоступательном движении плоской фигуры в ее плоскости на фигуре (или на связанной с ней подвижной плоско­сти) в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным цен­тром ускорений.

Положение мгновенного центра ускорений в общем слу­чае может быть определено, если известно ускорение какой-либо точки А плоской фигуры, а также ее угловая скорость и угловое ускорение. Тогда положение мгновенного центра ускорений

определяется следующим образом (рис. 2.41) 1) находим значение угла M из формулы

2) из точки А, ускорение которой известно, под углом M к вектору аА проводим полупрямую AN, которая должна быть отклонена от аА на угол M в сторону вращения фигуры, если вращение ускоренное, и против вращения, если оно является замедленным, т.е. в сторону направления углового ускорения E, показанного на рис. 2.41 дуговой стрелкой;

3) на полученной полупрямой AN отложим отрезок

Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорения. В самом деле, примем точку А за полюс, тогда по форму­ле распределения ускорений

Подставляя сюда значение AQ из равенства (2), находим, что aQA = аА, т.е. модуль вращательного ускорения aQA точки Q вокруг полюса А равен модулю ускорения аА этого полюса. С другой стороны, как было показано в предыдущем параграфе, угол между ускорением точки относительно полюса и направле­нием на полюс не зависит от выбора полюса. Следовательно, aQA составляет с направлением QA угол µ. Такой же угол составляет и вектор аА с отрезком AQ. Поэтому векторы аА и aQA параллель­ны, но противоположно направлены. Кроме того, aQA = - аА, а тогда аQ = 0. Таким образом, мы доказали, что точка Q - мгно­венный центр ускорений.

Если точку Q выбрать за полюс, то, поскольку aQ = 0, ускорение любой точки М плоской фигуры, согласно формуле (3), будет равно ускорению точки М во вращательном движении этой точки вокруг мгновенного центра ускорений, т.е.

aM = aMQ.

В этом случае модуль ускорения точки М будет

                           (5)

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры опре­деляются в данный момент времени так, как если бы движение было вращением вокруг мгновенного центра ускорений. При этом выполняются следующие соотношения:

т.е. ускорения точек плоской фигуры пропор­циональны расстояниям от них до мгновенного центра ускорений. Поле ускорений точек пло­ской фигуры показано на рис. 2.42. Следует иметь в виду, что при движении плоской фигу­ры положение ее мгновенного центра ускоре­ний непрерывно меняется, и положение мгно­венного центра скоростей Р и мгновенного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, при качении без скольжения колеса по прямолинейному рельсу, когда ско­рость центра колеса постоянна, мгновенный центр ускорений в каждый момент времени совпадает с центром колеса, тогда как мгновенный центр скоростей Р находится в точке касания колеса с рельсом. Мгновенные центры скоростей и ускорений совпадают лишь тогда, когда тело вращается вокруг неподвижной оси.

Вопрос № 26. Докажите формулу для определения скоростей точек тела, движущегося около неподвижной точки.

Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, называют сферическим движением, так как все точки тела движутся по поверхностям сфер, общий центр которых совпадает с неподвижной точкой. Рассмотрим сначала вопрос о задании уравнения, или закона движения тела вокруг неподвижной точки.

Предположим, что с телом неизменно связана система координат Oxyz с началом в неподвижной точке О. Положение этой системы будем определять относительно неподвижной сис­темы координат Ox1y1z1 с началом в этой же точке О. В теорети­ческой механике положение подвижной системы координат от­носительно неподвижной, как правило, определяется при помощи углов Эйлера, которые вводятся следующим образом (рис. 2.47).

Рассмотрим прямую ОК пересечения плоскостей Ох1y1 и Оху. Эта прямая называется линией узлов. Выберем на линии уз­лов положительное направление так, чтобы кратчайший переход от оси Oz1 к оси Oz определялся бы в положительном направле­нии (т.е. против хода часовой стрелки), если смотреть с положи­тельного направления линии узлов.

Угол между неподвижной осью Ох1 и линией узлов ОК обозначают через ᴪ и называют углом прецессии. Угол между линией узлов OK и подвижной осью Ох обозначают через ф и

называют углом собственного вращения. Угол между плоско­стями Ох1у1 и Оху, или угол между неподвижной осью Oz1 и подвижной осью Oz, обозначают через ᶿ и называют углом ну­тации.

Посредством трех последовательных независимых пово­ротов тела: на угол ᴪ вокруг оси Oz1, затем на угол ᶿ вокруг оси ОК и, наконец, на угол ф вокруг оси Oz - можно подвижную сис­тему координат Oxyz, первоначально совмещенную с неподвиж­ной, перевести в положение, указанное на рис. 2.47.

Таким образом, положение тела по отношению к осям Ох1у1 полностью определяется тремя независимыми углами Эй­лера, т.е. тело, совершающее сферическое движение, имеет три степени свободы. Если твердое тело совершает движение вокруг непод­вижной точки, то углы Эйлера непрерывно изменяются, т.е. яв­ляются  функциями времени: ᴪ = ᴪ(t), ᶿ = ᶿ (t), ф = Ф(t)        (1)

Эти уравнения называются уравнениями движения твер­дого тела вокруг неподвижной точки, или законом его движения.

 

 

Вопрос № 27