Сформулируйте и докажите теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки

Определение скоростей точек тела с помощью доказан­ной формулы распределения скоростей часто связано с достаточ­но сложными расчетами. Однако, используя упомянутую форму­лу, можно получить другие более удобные и простые методы оп­ределения скоростей точек пло­ской фигуры (рис. 2.31).

Один из таких методов дает теорема: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющие эти точки, равны между собой.

Рассмотрим какие-нибудь две точки А я В, движущиеся в своей плоскости плоской фигуры (S). Предположим, что извест­ны модуль и направление скорости точки А и направление скоро­сти точки В. Принимая точку А за полюс, можно записать, что

(1)

Проецируя обе части этогоравенства на линию АВ и учитывая, что вектор Vba перпендикулярен к АВ, приходим к результату

 (2)

Доказанная теорема* позволяет находить модуль скоро­сти Vb точки В, если известны модуль и направление скорости Va точки А и направление скорости Vb точки В.

 

 

Вопрос № 22

Опишите, как определяются скорости точек плоской фигуры и её угловая скорость с помощью мгновенного центра скоростей

Другой простой и наглядный способ определения скоро­стей точек тела при плоскопараллельном движении основан па понятии о мгновенном центре скоростей. Формула распределения скоростей, полученная ранее, основывалась на представлении о перемещении плоской фигуры

в виде геометрической суммы поступательного перемещения по­люса и вращательного перемещения вокруг полюса (теорема 1). Упрощение картины распределения скоростей можно получить, основываясь на представлении перемещения плоской фигуры по теореме Эйлера - Шаля (теорема 2). Докажем теорему.

При всяком непоступательном перемещении плоской фигуры существует единственная точка этой фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю. Точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент вре­мени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей. Для доказательства восстановим из точки А плоской фигуры перпендикуляр AN к направлению скоро­сти Va так, чтобы угол 90 между Va и ли­нией AN был отсчитан в сторону вращения плоской фигуры (рис. 2.32). Тогда, по до­казанной ранее формуле, вектор скорости любой точки В, лежащей на перпендику­ляре AN,

 (1)

а величина скорости Vb в силу того, что Va и Vb лежат на одной прямой, будет

 (2)

Изменяя расстояние точки В от точки А, можно найти при ф не = 0 такую точку Р, чтобы VPA = -VA, тогда

(3) при этом

 (4)

Таким образом, теорема доказана.

 

Вопрос № 23

Опишите частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей

1, Пусть скорости Va и Vb любых двух течек А к В парал­лельны друг другу и при этом линия АВ не перпендикулярна к VA, а следовательно, и к VA (рис. 2.34). Из теоремы о проекциях ско­ростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, следует, что но а = B, поэтому VB = VA и, следовательно, Vb = VA.

Таким образом, в рассматриваемом случае скорости всех точек плоской фигуры в данный момент равны и по модулю, и по направлению. Такое состояние плоской фи­гуры называется мгновенно поступатель­ным. Так как перпендикуляры, восстанов­ленные из точек А и В к скоростям этих то­чек, не пересекаются, то в рассматриваемом случае в данный момент мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Уг­ловая скорость со плоской фигуры в этот момент равна нулю.

2. Пусть скорости VA и Vb точек А и В параллельны друг другу и эти точки лежат на одном перпендикуляре к данным ско­ростям. В этом случае при VA не = Vb мгновенный центр скоростей Р определяется построениями, показанными на рис. 2.35, а и б.

Справедливость построения следует из пропорции (6) предыдущего параграфа. Е этом случае для нахождения мгно­венного центра скоростей Р нужно, кроме направлений, знать еще и модули скоростей Va и Vb.

3. Е практических задачах часто приходится иметь дело со случаем, когда плоская фигура катится без скольжения по не­которой неподвижной кривой MN (рис. 2.36).

В этом случае скорость точки касания контура плоской фигуры с кривой MN равна нулю, так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые ско­рости, а кривая MN неподвижна. Отсюда следует, что точка каса­ния Р является мгновенным центром скоростей плоской фигуры. В качестве примера на рис. 2.37 показано распределение скоро­стей точек колеса, которое катится без скольжения по неподвиж­ному прямолинейному рельсу.

 

 

Вопрос № 24

Докажите формулу распределения ускорений точек плоской фигуры

Пусть плоская фигура (S) движется относительно непод­вижной системы координат Оху. В этой системе положения по­люса А и произвольной точки В определяются соответственно радиус-векторами rА и rB (рис. 2.39).

Скорость произвольной точки В можно определить с по­мощью формулы распределения скоростей

 (1)

где р =АВ радиус-вектор, проведенный из полюса А в точку В. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим

 (2)

Здесь , т.е. соответственно равны ускорениям полюса А и точки В. Производная есть вектор углового ускорения фигуры,направленный (как и (О) перпендикулярно к плоскости фигуры.

Кроме того, согласно формуле дифференцирования век­тора, постоянного по модулю (см. формулу (а), п. 2.16),

 . Тогда последнее слагаемое формулы (2), раскрыв двойное векторное произведение, можно представить так

 (3)

(4)

В результате равенство (2) окончательно можно записать так:

 (5) Введем обозначения:

 (6)

Векторы A^tba и Aⁿba представляют те касательное и нормальное ускорения, которые имела бы точка В, если бы фигура (S) совер­шала только вращение вокруг полюса А. Вопрос о направлении этих векторов изучен нами ранее, однако, пользуясь правилом составления векторного произведения, легко убедиться, что Aⁿba имеет направление, совпадающее с вектором SA (от точки к полюсу), а A^tba - перпендикулярно ВА.

Модули этих векторов определяются так:

 

 (7)

Используя обозначения (6), окончательно находим фор­мулу распределения ускорений

(8) или

(9)

где

 (10)Таким образом, ускорение любой точки В плоской фигу­ры в каждый данный момент равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения произвольного полюса А и ускорения точки В в ее вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса.Так как модуль ускорения точки В при вращении фигуры вокруг полюса А находится так:  (И)

Угол M., который образует вектор Aba с направлением ВА, определяется из следующего равенства:

(12)

Этот угол M одинаков для всех точек плоской фигуры. Получен­ные результаты позволяют построить вектор Ab так, как это пока­зано на рис. 2.40.