Вопрос № 13Вывести формулы равномерного и равнопеременного вращательного движения твердого тела. Начертите график равнопеременного вращательного движения

Вращение тела называют равномерным, если угловая скорость тела постоянна, т.е. В этом случае

(1) .Произвольную постоянную С определяем из начального условия В результате находим Тогда (2)

Равенство (2) называется законом равномерного враща­тельного движения твердого тела. При это равенство уп­рощается.

Равнопеременным вращением называется такое враща­тельное движение тела, при котором его угловое ускорение по­стоянно, т.е. Вэтом случае (3)Из начального условия находим ~       Тогда (4)Равенство (4) называется законом изменения угловой скорости при равнопеременном вращательном движении тела. Далее • (5)

Из начального условия находим Тогда окончательно  (6)

Равенство (6) называется законом равнопеременного вращательного движения твердого тела. Легко заметить анало­гию между полученными формулами (2) и (6) и формулами рав­номерного и равнопеременного движения точки. Соответствующие формулы совпадают с точностью до обозначений.

Вопрос № 14, 15

Вывести формулу для определения скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Вывести формулы для определения ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Пусть вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением (1) Найдем распределение скоростей точек тела при его вращении. Воспользуемся при этом естественным способом за­дания движения точки. Рассмотрим движение какой-нибудь точ­ки М тела. При вращении тела точка М будет описывать окруж­ность, радиус которой обозначим R (рис. 2.21).

Составим уравнение движения точки М по ее траекто­рии. За начало отсчета примем начальное положение Мо, а за по­ложительное направление дуги s - направ­ление отсчета угла поворота ф. Тогда урав­нением движения точки М по ее траектории будет (2) а следовательно, проекция скорости точки М на направление касательной определится следующим образом:

(3) или

 (4) Эту скорость точки М, в отличие от угловой скорости тела, часто называют линейной скоростью. Та­ким образом, линейная скорость какой-либо точки вращающего­ся твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Вектор V скорости точки М направлен по касательной к окружности, которую описывает точка М, т.е. перпендикулярен к радиусу этой окружности. Модуль V вектора скорости V равен

 (5)

Так как угловая скорость со является кинематической ха­рактеристикой всего тела в целом, то из формулы (5) следует, что скорости точек тела пропорциональны расстояниям этих точек до оси вращения.

Ускорение точки М находим, определив сначала каса­тельное и нормальное ускорения:

Тогда модуль полного ускорения точки М (7)

Угол, образованный вектором ускорения точки М с ра­диусом описываемой точкой окружности, определяется так:

 (8)

Из формулы (8) следует, что ускорения точек вращающе­гося тела образуют в данный момент один и тот же угол а с ра­диусами описываемых ими окружностей. В частном случае рав­номерного вращения Е=0, поэтому А=0 и, следовательно, полное ускорение по модулю равно нормальному и направлено к оси вращения.

 

Вопрос № 16, 17

Вывести векторную формулу для скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Вывести векторные формулы для ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси и провести их анализ

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг непод­вижной оси Oz с угловой скоростью Определим скорость произвольной точки М этого тела. Введем прямоугольную систему координат с началом на оси вращения и неизменно связанную с те­лом (рис. 2.22).В этом случае

 (1)

Здесь следует заметить, что в разло­жении (1) х, у, z и вектор k постоянны, т.е. не зависят от времени, a i и j зависят от времени, так как вращаются вместе с телом.

Тогда для скорости точки М имеем(2)

Производные от единичных векторов, входящие в формулу (2), есть скорости концов этих векторов. Например, при ф > О вектор скорости конца i направлен парал­лельно j в положительном направлении оси Оу, а вектор скорости

конца j направлен параллельно i в отрицательном направлении оси Ох. Модуль каждой из этих скоростей равен \ф\.

Тогда

Далее, учитывая, что j =k*x, a -i =k * j, получим

 (3)

Подставляя формулы (3) в равенство (2) и используя то,

что , найдем

(4)

Назовем вектор фк вектором угловой скорости со, тогда

 (5)

Как видно из равенства (5), вектор угловой скорости те­ла направлен вдоль оси вращения так, чтобы наблюдатель, смотрящий с его конца, видел вращение тела против хода часо­вой стрелки.

Вектор ф можно расположить в любом месте оси враще­ния, т.е. ф — скользящий аксиальный вектор.

Перепишем теперь формулу (4) с учетом (5), тогда

 (6)

Вектор скорости любой точки тела, вращающегося во­круг неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, проведен­ный из произвольного центра, взятого на оси вращения. Формула (6) называется формулой Эйлера.

 

Вопрос № 18