Тема: «Многогранники. Правильные многогранники»

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области

«Ростовский технологический техникум сервиса»

(ГБПОУ РО «РТТС»)

 

МАТЕМАТИКА

(включает алгебру и

начала математического анализа; геометрию)

 

 

Курс __ группа ___

_________________

 

г. Ростов-на-Дону

ЧАСТЬ 2

Изображение	Тип правильного многогранника	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкаю-щих к вершине	Общее число вер-шин	Об-щее число рёбер	Об-щее число гра-ней
	Тетраэдр	3	3	4	6	4
	Гексаэдр или Куб	4	3	8	12	6
	Октаэдр	3	4	6	12	8
	Додекаэдр	5	3	20	30	12
	Икосаэдр	3	5	12	30	20

Тема: «Цилиндр. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра»

Цель: сформировать определение понятия цилиндра, знать формулы для нахождения площадей боковой и полной поверхностей цилиндра.

Теоретические сведения к практическому занятию:

Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.

Круги с центрами О и О₁ – основания цилиндра.

AD=BC=l – образующая. Длина образующей называется высотой цилиндра, радиус основания – радиус цилиндра.

АО=DО=R;         АВ=DС=D – диаметр

Осевое сечение цилиндра – прямоугольник АВСD. Развертка цилиндра – прямоугольник и два круга.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

S_бок.=2πrh

S_{полной поверхности}=2πr(r+h)

V=S₀h=πr²h

 

Самостоятельная работа:

1. Найти радиус цилиндра, если известно, что он в два раза меньше высоты, а площадь боковой поверхности цилиндра равна 36π см².

2. Найти радиус и высоту цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 12π см², а площадь полной поверхности равна 20π см².

3. Выполните модель цилиндра

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение цилиндра.

2) Изобразить цилиндр, указать его элементы.

3) Запишите формулы для нахождения площадей боковой и полной поверхностей цилиндра.

Б. Выполнить задания:

1. Найти площади боковой и полной поверхностей цилиндра, если его высота равна 6, а радиус равен 4.

2. Найти площади боковой и полной поверхностей цилиндра, если его высота равна 10, а диаметр равен 12.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21π, а диаметр основания равен 7. Найти высоту цилиндра.

Тема: «Экстремумы функции»

Цель: сформировать умение находить точки экстремума функции

Теоретические сведения к практическому занятию:

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых функция либо недифференцируема (не имеет производной), либо имеет производную, равную нулю, называются критическими точками этой функции.

Точка х₀ называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки х₀, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство .

Точка х₀ называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки х₀, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Пример: Найти стационарные точки функции

Решение:

Пример: Найти точки экстремума функции

Решение:

26

Пример: Найти значение функции в точках экстремума

Решение:

Самостоятельная работа:

1) Найти стационарные точки функции

2) Найти точки экстремума функции

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение стационарной и критической точки.

2) Дайте определение точки максимума, минимума и стационарной точки.

3) Приведите примеры нахождения стационарных точек и точек экстремума.

Б. Выполнить задания:

1) Найти точки экстремума функции

2) Найти точки экстремума функции и значения функции в этих точках

Тема: «Координаты вектора»

Цель: сформировать определение понятия координат вектора, научиться находить координаты суммы, разности и произведения вектора на число, знать связь между координатами векторов и координатами точек

Теоретические сведения к практическому занятию:

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление, которое обозначается стрелкой и выбрана единица измерения отрезков, то задана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Обычно она обозначается буквой О. Оси координат обозначаются Ох, Оу, Оz и называются ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz. В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства ставится в соответствие тройка чисел, которые называются ее координатами.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Охуz. На каждой из положительных полуосей от начала координат отложим единичный вектор – вектор, длина которого равна единице. Обозначим  - единичный вектор оси абсцисс,  - единичный вектор оси ординат и  - единичный вектор оси аппликат. Векторы  называются координатными векторами. Любой вектор  можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде , причем коэффициенты разложения  определяются единственным образом.

Коэффициенты в разложении вектора  по координатным векторам называются координатами вектора  в данной системе координат. Координаты вектора  записываются в фигурных скобках после обозначения вектора: .

Координаты равных векторов соответственно равны, т.е. если векторы  и  равны, то .

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Если  и , то

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Если  и , то

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Если  и - данное число, то

Если точка А имеет координаты , а точка В имеет координаты , то вектор АВ будет иметь координаты . Т.е. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Пример. Даны векторы  и точки . Найти координаты векторов

 

40

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Каким образом можно задать прямоугольную систему координат в пространстве? Как обозначается данная система координат? Дайте определение координат точки.

2) Какие векторы называются координатными векторами? Какой вектор можно разложить по координатным векторам?

3) Дайте определение координат вектора. Каким образом обозначаются координаты вектора?

4) Чему равны координаты суммы, разности и произведения вектора на число? Запишите соответствующие формулы.

5) Какие координаты будет иметь вектор, если даны координаты двух точек?

Б. Выполнить задания:

1) Даны векторы . Найти координаты векторов

2) Даны векторы  и точки . Найти координаты векторов

 

Тема: «Размещения»

Цель: сформировать умение решать задачи на размещения элементов

Теоретические сведения к практическому занятию:

Размещениями из n элементов по m элементов (m<=n) называются соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Пример: Сколькими способами можно выбрать капитана команды и его заместителя из 20 участников команды?

Решение:

Пример: Решить уравнение

Решение:

Самостоятельная работа:

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение размещения элементов. Приведите примеры.

2) Приведите примеры уравнений с размещением элементов.

Б. Выполнить задания:

1) Сколькими способами можно расставить расписание из 10 различных предметов, если в день будет 6 уроков?

2) Сколькими способами можно выбрать трех различных участников спектакля, если имеется 15 желающих?

3) Сколько различных слов можно составить из букв П, Л, А, И, М?

4)

Тема: «Бином Ньютона»

Цель: сформировать умение применять формулу бинома Ньютона

Теоретические сведения к практическому занятию:

       В теории многочленов двучлены часто называют биномами.

Формулу (*) называют биномом Ньютона, а числа  биномиальными коэффициентами. Биномиальные коэффициенты легко находят с помощью треугольника Паскаля. Треугольник Паскаля – это таблица значений , составленная на основании рекуррентного свойства числа сочетаний  с учетом того, что

Свойство элементов строки треугольника Паскаля:

Самостоятельная работа:

1) Записать разложение бинома:

2) Записать разложение бинома:

3) С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму:

Тема: «Случайные величины»

Цель: сформировать понятие случайной величины, полигона частот, гистограммы частот

Теоретические сведения к практическому занятию:

Случайными величинами называют такие величины, которые в ходе наблюдений или испытаний могут принимать различные значения. На практике после проведения реальных испытаний составляются таблицы распределения значений случайных величин по частотам (или по относительным частотам), после чего для большей наглядности распределение данных представляют либо в виде диаграммы, либо в виде полигона частот (полигона относительных частот). Заполнив по данным относительных частот таблицу, можно построить ступенчатую фигуру, которая называется гистограммой относительных частот.

Пример: Даны результаты 10 измерений диаметра круга d: 8, 3, 5, 6, 9, 8, 4, 5, 6, 8. Представить эти данные с помощью таблиц распределения по частотам М и относительным частотам W; а также с помощью полигона частот.

d	3	4	5	6	8	9
M	1	1	2	2	3	1
W=M/N	1/10	1/10	2/10	2/10	3/10	1/10

 

 

 

Т
М	1	3	10	18	68

N=100

 

Х
W	0,01	0,03	0,1	0,18	0,68

 

 

54

Самостоятельная работа:

а) Имеются результаты 40 измерений ширины детали А: 25, 10, 12, 14, 13, 16, 18, 14, 26, 14, 12, 10, 12, 11,15, 17, 21, 25, 23, 24, 28, 27, 15, 11, 16, 17, 19, 16, 17,18, 26, 21, 23, 15, 13, 11, 11, 15, 20, 14

б) Построить гистограмму частот и относительных частот, заполнив таблицу:

Х
М	5	8	3	1	4
W

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение случайной величины.

2) В каком виде представляют данные после испытаний для наглядности?

3) Дайте определение гистограммы относительных частот.

4) Приведите примеры представления данных с помощью таблиц частот и относительных частот, а также с помощью полигона частот.

Б. Выполнить задания:

а) Имеются результаты 40 измерений ширины различной ткани Х: 24, 26, 28, 25, 21, 23, 22, 26, 27, 29, 25, 30, 30, 26, 25, 24, 29, 21, 20, 22, 22, 25, 26, 27, 29, 21, 23, 25, 24, 26, 28, 27, 26, 20, 25, 28, 29, 28, 27, 21

б) Имеются результаты 30 измерений длины детали У: 10, 12, 14, 13, 16, 18, 14, 26, 14, 12, 10, 11,15, 17, 21, 25, 23, 24, 28, 27, 15, 11, 16, 17, 19, 16, 17, 26, 21, 23

в) Имеются результаты 35 измерений ширины детали А: 25, 10, 12, 14, 13, 16, 18, 14, 26, 14, 12, 10, 12, 11,15, 17, 21, 25, 23, 24, 28, 27, 15, 11, 16, 17, 19, 16, 17,18, 26, 21, 23, 15, 13

Тема: «Меры разброса»

Цель: сформировать понятия мер разброса, научиться их вычислять

Теоретические сведения к практическому занятию:

Среднее (среднее арифметическое) выборки – это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству.

Х: 3, 5, 6, 7, 8           

Отклонением от среднего называется разность между рассматриваемым значением случайной величины и средним значением выборки.

Х	3	5	6	7	8
	-2,8	-0,8	0,2	1,2	2,2

 

Дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений.

 

Х	3	5	6	7	8
	-2,8	-0,8	0,2	1,2	2,2
	7,84	0,64	0,04	1,44	4,84

 

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратичным отклонением и обозначается σ.

 

Пример: Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

Х	0	1	2	3
М	4	2	3	1

Х	0	1	2	3
М	4	2	3	1
	-1,1	-0,1	0,9	1,9
	1,21	0,01	0,81	3,61

 

Самостоятельная работа:

1) Составьте кроссворд по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики»

2) Найти размах, дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

а) 12, 5, 8, 4, 12, 2, 8, 1

б) 20, 15, 0, 2, 5, 7, 8, 9, 11, 10

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение среднего арифметического. Приведите примеры.

2) Дайте определение отклонения от среднего. Приведите примеры.

3) Дайте определение дисперсии. Приведите примеры.

4) Дайте определение среднего квадратичного отклонения. Приведите примеры.

Б. Выполнить задания:

3) Найти размах, дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

а) 2, 5, 8, 4, 12, 6, 2, 8, 1

б) -10, -5, 0, 2, 5, 7, 8, 9, 11, 15

4) Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

Х	0	2	5	6	8	10
М	7	8	4	2	1	3

Х	1	2	3	6	8	9
М	0	4	5	1	2	3

 

 

58

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области

«Ростовский технологический техникум сервиса»

(ГБПОУ РО «РТТС»)

 

МАТЕМАТИКА

(включает алгебру и

начала математического анализа; геометрию)

 

 

Курс __ группа ___

_________________

 

г. Ростов-на-Дону

ЧАСТЬ 2

Изображение	Тип правильного многогранника	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкаю-щих к вершине	Общее число вер-шин	Об-щее число рёбер	Об-щее число гра-ней
	Тетраэдр	3	3	4	6	4
	Гексаэдр или Куб	4	3	8	12	6
	Октаэдр	3	4	6	12	8
	Додекаэдр	5	3	20	30	12
	Икосаэдр	3	5	12	30	20

Тема: «Многогранники. Правильные многогранники»

Цель: сформировать определение понятия многогранника, правильного многогранника, научиться решать задачи по данной теме

Теоретические сведения к практическому занятию:

Геометрическим телом называют ограниченную связную фигуру в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причем сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу тела называют также его поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело называют многогранной поверхностью или многогранником. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его гранями. Стороны граней называют ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°.

Теорема Эйлера: В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2.

Г+В=Р+2 – формула Эйлера

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Существует пять правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

 

Развертка представляет собой плоский многоугольник, составленный из меньших многоугольников - граней исходного многогранника.

Самостоятельная работа:

1. Используя формулу Эйлера, определить вид правильного многогранника и изобразить его, если в нем: а) 30 ребер, 20 вершин; б) 20 граней, 12 вершин

2. Выполните модель правильного многогранника, используя бумагу, картон (по выбору)

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение геометрического тела. Дайте определение многогранника, назовите его элементы.

2) Дайте определение выпуклого многогранника.

3) Сформулируйте теорему Эйлера.

4) Дайте определение правильного многогранника. Назовите правильные многогранника.

3

5) Дайте определение развертки. Изобразите несколько из них.

Б. Выполнить задания:

1.Заполнить таблицу