Тема: «Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида»

Цель: сформировать определение понятия пирамиды, уметь решать задачи на нахождение площади и элементов пирамиды

Теоретические сведения к практическому занятию:

       Многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников называется пирамидой. Данный n-угольник называется основанием, а треугольники – боковыми гранями пирамиды.

Треугольная пирамида – это тетраэдр. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

S_полн=S_бок+S_осн

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между её основанием, боковыми гранями и сечением этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды. Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Самостоятельная работа:

1. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 14 и наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите диагональ основания пирамиды.

2. Выполните модель пирамиды (по выбору)

6

3. Найти площадь полной поверхности правильной усеченной 4-угольной пирамиды, зная, что сторона верхнего основания в два раза меньше стороны нижнего основания, и равна 6 см, а апофема равна 8 см.

4. Площадь верхнего основания правильной усеченной 4-угольной пирамиды равна 36 см². Найти площадь боковой и полной поверхностей пирамиды, если площадь нижнего основания в 4 раза больше площади верхнего, а высота боковой грани равна стороне нижнего основания.

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1)Дайте определение пирамиды. Изобразите пирамиду, укажите ее

элементы.

1) Дайте определение правильной пирамиды, назовите ее элементы.

2) Дайте определение усеченной пирамиды, изобразите ее и укажите основные элементы.

3) Укажите основные формулы для нахождения площадей пирамиды, правильной пирамиды и усеченной пирамиды.

Б. Выполнить задания:

1. В правильной треугольной пирамиде КАВС, М – середина ребра АВ, К – вершина. Известно, что ВС=3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найти длину отрезка КМ.

2. Заполнить таблицу, зная, что дана правильная n-угольная пирамида:

n	an – длина стороны основания	k - апофема	S основания	S бок.	S полн.
3	2	8
3		6
4		5	36
4	10	12
6	4	7
8	2	3

 

При решении использовать формулы площадей правильных многоугольников:

 

 

3. Изобразить усеченную пирамиду, зная, что у нее: а) 12 вершин, б) 12 ребер, в) 20 вершин, г) 21 ребро