Тема: «операции над векторами. Разложение вектора»

Цель: сформировать определение понятия вектора в пространстве, равных векторов

Теоретические сведения к практическому занятию:

Пусть даны два произвольных вектора  и . Отложим от какой-нибудь точки А вектор , равный . Затем, от точки В отложим вектор , равный . Вектор  называется суммой векторов  и : . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Оно может быть также сформулировано и в другой форме: для любых трех точек А, В и С имеет место равенство .

Для любых векторов  справедливы равенства:

 (переместительный закон)

 (сочетательный закон)

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Вектор  является противоположным вектору .

Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

Разностью векторов  и  называется такой вектор, сумма которого с вектором  равна вектору .                                 

Произведением ненулевого вектора  на число  называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы  и  сонаправлены при  и противоположно направлены при . Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение вектора  на число  обозначается . Для любого числа  и любого вектора  векторы  и  коллинеарны. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Для любых векторов  и любых чисел  справедливы равенства:

 (сочетательный закон)

 (первый распределительный закон)

 (второй распределительный закон)

Вектор  является вектором, противоположным вектору , т.е. .

Если векторы  и  коллинеарны и , то существует число  такое, что .

Пример 1: Упростить выражения:

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если вектор  можно разложить по векторам  и , т.е. представить в виде , где х и у – некоторые числа, то векторы  компланарны.

Для сложения трех некомпланарных векторов используют правило параллелепипеда:

Если вектор  представим в виде , где  - некоторые числа, то вектор  можно разложить по векторам . Числа  называются коэффициентами разложения. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Пример 2: Дан параллелепипед АВСМА₁В₁С₁М₁. Разложите вектор ВМ₁ по векторам ВА, ВС и ВВ₁.

38

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Сформулируйте правило сложения векторов. Изобразите графически правило сложения векторов.

2) Дайте определение противоположных векторов. Приведите примеры.

3) В чем заключается правило многоугольника при построении суммы векторов.

4) Дайте определение разности векторов.

5) Дайте определение произведения вектора на число. Чему равно произведение нулевого вектора на число?

6) Сформулируйте свойства сложения и произведения вектора на число.

7) Дайте определение компланарных векторов. Назовите признак компланарных векторов.

8) В чем заключается правило параллелепипеда сложения векторов?

9) Какой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векорам? Приведите примеры.

Б. Выполнить задания:

1) Упростить выражения:

2) Дан тетраэдр АВСК.

1. Найти сумму векторов

2. Доказать

3) Дан параллелепипед АВСSА₁В₁С₁S₁. Назовите вектор, равный сумме векторов

Тема: «Координаты вектора»

Цель: сформировать определение понятия координат вектора, научиться находить координаты суммы, разности и произведения вектора на число, знать связь между координатами векторов и координатами точек

Теоретические сведения к практическому занятию:

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление, которое обозначается стрелкой и выбрана единица измерения отрезков, то задана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Обычно она обозначается буквой О. Оси координат обозначаются Ох, Оу, Оz и называются ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz. В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства ставится в соответствие тройка чисел, которые называются ее координатами.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Охуz. На каждой из положительных полуосей от начала координат отложим единичный вектор – вектор, длина которого равна единице. Обозначим  - единичный вектор оси абсцисс,  - единичный вектор оси ординат и  - единичный вектор оси аппликат. Векторы  называются координатными векторами. Любой вектор  можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде , причем коэффициенты разложения  определяются единственным образом.

Коэффициенты в разложении вектора  по координатным векторам называются координатами вектора  в данной системе координат. Координаты вектора  записываются в фигурных скобках после обозначения вектора: .

Координаты равных векторов соответственно равны, т.е. если векторы  и  равны, то .

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Если  и , то

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Если  и , то

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Если  и - данное число, то

Если точка А имеет координаты , а точка В имеет координаты , то вектор АВ будет иметь координаты . Т.е. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Пример. Даны векторы  и точки . Найти координаты векторов

 

40

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Каким образом можно задать прямоугольную систему координат в пространстве? Как обозначается данная система координат? Дайте определение координат точки.

2) Какие векторы называются координатными векторами? Какой вектор можно разложить по координатным векторам?

3) Дайте определение координат вектора. Каким образом обозначаются координаты вектора?

4) Чему равны координаты суммы, разности и произведения вектора на число? Запишите соответствующие формулы.

5) Какие координаты будет иметь вектор, если даны координаты двух точек?

Б. Выполнить задания:

1) Даны векторы . Найти координаты векторов

2) Даны векторы  и точки . Найти координаты векторов