Закон сохранения импульса системы частиц

З акон сохранения импульса для системы материальных точек можно получить из весьма полезной при решении многих задач механики теоремы о скорости изменения полного импульса системы:

Теорема 1.1. Теорема о изменении импульса системы. Скорость изменения суммарного импульса системы материальных точек равна сумме внешних сил, действующих на элементы системы.

Доказательство теоремы 1.1 использует импульсную формулировку второго закона Ньютона для материальной точки (см. (4.9) из [5])и третий закон Ньютона (см. (4.4) из [5]):

 

                             (1.6)

 

Определение 1.3. Замкнутой системой материальных точек называется система, на элементы которой не действуют внешние силы.

Из Теоремы 1.1 о скорости изменения импульса системы материальных точек и Определения 1.1 замкнутой системы следует, что импульс замкнутой системы не может изменяться во времени:

                                                               (1.7)

Полученный результат (1.7) столь важен, что нередко формулируется как физический закон - закон сохранения импульса системы.

 

Физический закон 1.1. Закон сохранения импульса. Суммарный импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным во времени.

 

В случае действия некомпенсированных внешних сил суммарный импульс системы изменяется во времени, а центр масс последней движется с ускорением:

                                                                               (1.8)

Соотношение (1.8) внешне схоже со вторым законом Ньютона для материальной точки в его «школьной» формулировке (см. (4.2) из [5]), но имеет существенно иной физический смысл, поскольку относится к описанию весьма формально вводимой для описания системы тел точке – ее центра масс.
   Соотношения (1.6) и (1.7) весьма полезны для анализа движения систем тел, поскольку их использование не требует знания деталей взаимодействий между их элементами, учет которых нередко оказывается трудно осуществимым.

 

Пример 1.2. Неупругое столкновение при наличии внешних сил. Ящик с песком массой M покоится на горизонтальной поверхности, коэффициент трения о которую равен μ (рис. 1.2). Пуля массой m влетает в ящик со скоростью v, направленной под углом α к горизонту, и застревает в нем, тормозясь в песке за очень малое время. На какое расстояние сдвинется ящик?

Решение задачи состоит из двух частей: определения скорости, приобретенной ящиком в результате попадания в него пули, и расчета расстояния, пройденного ящиком до его остановки. Прямой расчет процесса разгона ящика во время торможения в нем пули затруднен отсутствием простых соображений о конкретном виде сил, взаимодействия ящика с пулей во время торможения последней в песке. Попытки обойти указанную проблему стандартным методом путем использования закона сохранения импульса не являются корректными, поскольку система «ящик + пуля» не является замкнутой. Вклад внешней силы трения, действующей во время торможения пули в ящике, нельзя считать пренебрежимо малым из-за ее резкого возрастания, обусловленного практически неограниченным возрастанием силы реакции опоры в момент торможения пули в ящике.

Рис. 1.2. Иллюстрации к постановке задачи в Примере 7.2

и процедуре учета внешних сил при решении

 

Необходимость учета внешних сил во время торможения пули в ящике требует использования теоремы о скорости изменения импульса системы материальных точек. При рассмотрения в качестве единой системы двух тел (ящика и пули) к внешним силам следует отнести действующую на пулю силу тяжести и приложенные к ящику силы тяжести, реакции опоры и силу сухого трения (рис. 1.2). В описанной ситуации соотношение (1.6) приобретает вид:

.

Проектирование векторного равенства на горизонтальную и вертикальную оси с учетом значений скоростей рассматриваемых тел до и после торможения пули в ящике с последующим домножением полученных равенств на время торможения пули Δ t приводит к системе уравнений, отличной от получающихся в рамках использования закона сохранения импульса:

 

 

Как отмечалось, несмотря на малость времени торможения Δ t правая часть первого их полученных равенств не может считаться стремящейся к нулю из-за сильного возрастания величины силы трения во время удара. Возникающая неопределенность легко устраняется исключением из обоих равенств сил трения и реакции опоры с помощью известной связи между ними в случае проскальзывания соприкасающихся поверхностей (F _T = μ N):

.

В полученном равенстве (в отличие от предшествующих) можно пренебречь слагаемым, содержащим малый интервал Δ t, поскольку последний домножается на заведомо ограниченные сверху множители. В результате скорость ящика после остановки в нем пули оказывается равной:

.

Полученный результат, разумеется, справедлив только в случае достаточно малых коэффициентов  трения: μ < ctgα. В противном случае ящик останется неподвижным.

Дальнейший расчет пути, пройденного телом при равнозамедленном движении по шероховатой поверхности не представляет каких-либо принципиальных трудностей:

.