Свободное вращение твердого тела

Свободное вращение твердого тела в пустом пространстве невозможно вокруг осей, не проходящих через центр масс. В гипотетическом случае такого вращения (рис. 4.2) центр масс тела должен двигаться по окружности с центом, ледащем на оси. При таком движении полный импульс твердого тела вместе со скоростью центра масс должен изменять свое направление. В соответствии с общими уравнениями движения твердого тела (3.3) при отсутствии внешних сил такая ситуация невозможна. 

Рис.4.2. К обоснованию невозможности свободного вращения твердого тела
 вокруг оси, не проходящей через центр масс

 

 Требование прохождения через центр масс  оси свободного вращения твердого тела в пустом пространстве является необходимым, но не достаточным. Свободное вращение твердого тела в пустом пространстве возможно лишь вокруг трех взаимно перпендикулярных осей («осей свободного вращения») декартовой системы координат, для которой матрица момента инерции имеет диагональный вид. Действительно, из связи (4.5) между компонентами векторов момента импульса J угловой скорости ω следует, что в общем случае  эти векторы не сонаправлены (рис. 4.3).

Рис.4.3. К обоснованию невозможности свободного вращения твердого тела
 вокруг оси, не являющейся осью свободного вращения

 

В результате предположение о свободном вращении твердого тела вокруг какой-либо оси, проходящей через центр масс, но не совпадающей ни с одной из осей свободного вращения приводит к выводу о том, что при таком движении вектор момента импульса тела описывает в пространстве конус, ось которого совпадает с направлением вектора ω. Описанная ситуация в соответствии с общим уравнением движения твердого тела (3.4) невозможна в случае отсутствия внешних сил, создающих необходимые моменты.

В результате остается лишь три возможных направления для оси свободного вращения твердого тела. В случае, если вектор угловой скорости направлен вдоль одной из трех осей свободного вращения, векторы угловой скорости и момента импульса оказывается сонаправленными, например:

.     (4.9)

В такой ситуации вектор момента импульса оказывается направленным вдоль оси вращения и, следовательно, не изменяется во времени. В результате все уравнения движения твердого тела (3.3) и (3.4) выполняются, что и обеспечивает возможности свободного вращения вокруг любой из трех так выбранных осей.

Можно показать, что свободное вращение вокруг осей, соответствующих максимальному и минимальному значениям момента инерции, оказывается устойчивым. Свободное вращение вокруг оси с промежуточным значением I _ξξ неустойчиво и трудно осуществимо на практике.

При небольших отклонениях вектора угловой скорости от направления оси свободного вращения может возникать устойчивое сложное вращательное движение, сопровождающееся прецессией.

Так, например, в случае симметричного быстро закрученного волчка (рис. 10.4), диагонализованная матрица тензора момента инерции которого имеет два совпадающих элемента    

 ,                   (4.10)

возможно движение, при котором вектор угловой скорости вращения тела вокруг своей оси симметрии не сохраняется во времени, а медленно перемещается по поверхности воображаемого конуса.

Рис.4.4. Свободное вращение с прецессией

Ось конуса, вычерчиваемого прецессирующим вектором угловой скорости, совпадает по направлению с вектором момента импульса, который в случае движения тела в пустом пространстве остается неизменным с течением времени.