Краткие теоретические сведения.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

       Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

или

Средним квадратическим отклонением  случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

Плотность распределения непрерывной случайной величины также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b):

Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Функция  называется интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Пример 1. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р₁=0,3; p₂=0,4; p₃=0,5; p₄=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Решение.

Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4. Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности.

0,302.

Получаем закон распределения:

x	0	1	2	3	4
x^2	0	1	4	9	16
p	0,084	0,302	0,38	0,198	0,036

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Пример 2. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины: Найти ее числовые характеристики и вероятность попадания в интервал (-2; 4).

Решение.

Пример 3. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а =2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Решение.

       Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

 

       Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

Задания для совместного решения.

1. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины

-1	0	1	2
0,2	0,3	0,4	0,1

Ответ:

2. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины и вероятность попадания в интервал (a; b)

    (0;3)

Ответ:

3. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а= 1 – математическое ожидание и s=0,5 – среднее квадратическое отклонение. Требуется найти вероятность того, Х примет значение из интервала (0; 2), и найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 1.

Ответ: 0,9545; 0,6827.

Задания для самостоятельного решения.

1. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины, заданной своим законом распределения.

2. Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения, значения которой равны при , при остальных значениях . Найти числовые характеристики дискретной случайной величины и вероятность попадания в интервал ().

3. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а – математическое ожидание и s – среднее квадратическое отклонение. Требуется найти вероятность того, Х примет значение из интервала (a; b), и найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на .

	1	2		3
		,	(α; β)	a
1	0 2 4 5 0,2 0,2 0,4 0,2		(0,5; 2)	1	1	1
2	-2 2 3 5 0,2 0,1 0,4 0,3		(2; 6)	2	0,5	2
3	0 1 2 3 0,2 0,3 0,3 0,2		(1; 3)	3	0,2	0,5
4	-2 0 4 5 0,1 0,3 0,4 0,2		(0,5; 4)	1	0,3	1
5	-3 -2 0 2 0,2 0,3 0,3 0,2		(2; 7)	2	0,5	0,5
6	0 1 3 5 0,3 0,2 0,4 0,2		(0,2; 2)	3	1	0,4
7	-1 0 2 3 0,2 0,3 0,4 0,1		(1; 2)	1	0,2	1
8	0 2 4 6 0,2 0,2 0,2 0,4		(1; 3)	2	0,4	0,5
9	1 2 3 4 0,1 0,2 0,3 0,4		(1; 3)	3	0,6	0,2
10	-2 -1 0 1 0,2 0,3 0,3 0,2		(0,5; 2)	-1	1	0,5
11	0 2 4 5 0,2 0,2 0,4 0,2		(0,5; 2)	1	0,5	0,4
12	3 4 5 6 0,2 0,2 0,3 0,3		(0; 2)	2	0,3	1
13	1 2 4 5 0,1 0,2 0,3 0,4		(0; 0,5)	-2	0,5	0,3
14	2 4 6 8 0,2 0,3 0,2 0,3		(2; 5)	1	0,6	0,2
15	0 1 3 5 0,2 0,2 0,3 0,3		(2; 4)	-1	1	0,5
16	-3 -2 -1 0 0,2 0,3 0,4 0,1		(2; 4)	2	0,5	1
17	1 2 4 6 0,2 0,2 0,2 0,3		(0,5; 2)	3	0,2	0,4
18	-3 -2 -1 1 0,2 0,2 0,4 0,2		(0,5; 2)	1	0,4	0,5
19	0 2 3 5 0,1 0,2 0,4 0,3		(0,5; 2)	2	1	0,6
20	2 3 4 6 0,2 0,3 0,4 0,1		(0,5; 2)	-1	0,2	0,9
21	0 2 4 6 0,1 0,2 0,3 0,4		(1; 2)	1	0,5	1
22	-4 -3 -2 -1 0,4 0,3 0,2 0,1		(2; 5)	2	0,4	0,8
23	0 2 4 5 0,1 0,2 0,3 0,4		(1; 3)	3	1	0,5
24	3 4 5 6 0,2 0,1 0,4 0,3		(1; 2)	-2	0,5	1
25	-3 -2 1 2 0,2 0,2 0,1 0,5		(2; 5)	-1	0,2	0,5
26	1 2 3 5 0,2 0,2 0,5 0,1		(2; 4)	1	0,8	0,8
27	-2 2 4 5 0,1 0,2 0,3 0,4		(0; 3)	2	1	0,6
28	-1 2 3 5 0,1 0,2 0,5 0,2		(0; 4)	-2	0,5	0,9
29	0 1 3 5 0,2 0,2 0,1 0,5		(0; 3)	1	0,2	1
30	-3 -2 0 2 0,2 0,5 0,1 0,2		(3; 5)	-1	0,5	0,8

 

Демонстрационный вариант итоговой контрольной работы

Часть А.

1. Найти определитель:

2. Дан эллипс . Найти его эксцентриситет.

3. Даны два комплексных числа: , . Найти: .     

4. Даны векторы  и . Найти .

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

6. Найти общее решение дифференциального уравнения

	2	4	8
	0,4	0,3	0,3

7. Дан закон распределения дискретной случайной величины Y.

Найти математическое ожидание :

 

Часть Б.

 

1. Даны матрицы , , . Найти

 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно прямой .

3. Найти неопределенный интеграл .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Ответы:

Часть А
1	2		3	4		5	6		7
-39			38+17 i						4,4
Часть Б
1		2			3			4
		3 x-y-4=0

 

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

№1.Даны матрицы:

             В= С=

Найти матрицу, равную значению выражения.

№2. Решить систему уравнений, заданной в матричной форме АХ=В:

- по формулам Крамера,

- средствами матричного исчисления 

- методом Гаусса.

№3. Даны координаты вершин треугольника . Найти:

- Уравнение стороны ВС

- Уравнение высоты АD

- Угол В

- Длину высоты АD

№4. Привести к каноническому виду уравнения кривых второго порядка, вычислить все параметры кривой. Построить эти кривые.

№5. Выполнить с данными комплексными числами следующие действия:

а)    б)   в)   г) Число  представить в тригонометрической и показательной форме и найти

№6. Найти неопределенные интегралы

№7. Построить фигуру, ограниченную заданными линиями и вычислить ее

а) площадь

б) объем тела, образованного при вращении этой фигуры вокруг оси Ох.

№8. Решить дифференциальные уравнения.

№9. Для данной случайной величины Х вычислить числовые характеристики.

Задание №1

№ задачи	Выражение	№ задачи	Выражение
1		6	D × B - 2 A^T
2		7	D × A^T+2 B
3		8	А ×В+3С^Т
4		9	A × D-4 B^T
5	2 × A × D+B^T	0	2 × A × B+ C^T

Задание №2

№ задачи	А	В	№ задачи	А	В
1			6
2			7
3			8
4			9
5			0

Задание №3

№ задачи	А	В	С
1	(-5; 10)	(11; -2)	(4; 22)
2	(-9; 6)	(7; -6)	(0; 18)
3	(4; -9)	(16; -25)	(-8; -18)
4	(-6; 10)	(10; 22)	(3; -2)
5	(-8; 8)	(-20; -8)	(4; -1)
6	(-6; 4)	(10; -8)	(3; 16)
7	(5; 9)	(17; 25)	(-7; 18)
8	(-4; 4)	(-16; -12)	(8; -5)
9	(-3; -10)	(-15; 6)	(9; -1)
0	(1; 10)	(-11; 26)	(13; 10)

Задание №4.

№ задачи
1	9x^2 +25y^2 = 225	6
2	6 x^2+15 y^2=90	7
3	9 x^2-16 y^2=144	8
4		9
5		0

Задание №5

№ задания	z1	z2	z3
1		2+2i	1 +
2		-i	-1 – i
3		1+i	- 6 i
4	i	2 – i	-
5	1-i	3 + 4 i	2 i
6	6 + 3 i	i
7	3 – i	6 + 2 i
8	1 – 2 i	2 – 3 i	2 + 2 i
9	5+4i	5 – 4 i	-1 + i
0	3+3 i	4 + 2 i

Задание №6.

№ задания	а	б	в
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

Задание №7.

№ задачи	Уравнения линий	№ задачи	Уравнения линий
1		6
2		7
3		8
4		9
5		0

Задание №8.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

Задание №9.

1	1 2 3 4 5 0,1 0,2 0,1 0,3 0,3	6	1 2 3 4 5 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
2	1 2 3 4 5 0,2 0,2 0,2 0,1 0,3	7	1 2 3 4 5 0,2 0,2 0,3 0,1 0,2
3	1 2 3 4 5 0,1 0,1 0,3 0,2 0,3	8	1 2 3 4 5 0,3 0,1 0,1 0,2 0,3
4	1 2 3 4 5 0,2 0,2 0,3 0,2 0,1	9	1 2 3 4 5 0,2 0,1 0,2 0,2 0,3
5	1 2 3 4 5 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2	0	1 2 3 4 5 0,1 0,1 0,2 0,3 0,3

 

 

Рекомендуемая литература

Основные источники:

1. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. – М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике. – М. Дрофа, 2009.

3. Дадаян А.А. Математика. – М.: ФОРУМ, 2008.

4. Дадаян А.А, Сборник задач по математике. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М, 2008.

5. Кочетков Е.С., Смерчинский С.О., Соколов В.В. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Форум, 2008.

Дополнительные источники:

1. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу/ Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.: Учеб. Пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006.

3. Математика. Руководство по проведению практических занятий. 2 семестр / Под ред. И.С. Саргсяна. – М.:МГУП, 2004.

4. Математика. Руководство по проведению практических занятий. 4 семестр / Под ред. И.С. Саргсяна. – М.:МГУП, 2004.

5. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М.: Академия, 2002.

6. Филатова Т.Г. Справочник по математике. – М.: Е-Медиа, 2003.

7. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник. – М.: Высшая школа, 2000.

8. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2000.

9. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учеб пособие. – М.: Высшая школа, 2000.

Интернет - источники

1. http://mathprofi.ru/ Высшая математика.

2. http://www.matburo.ru/ Примеры решения задач по высшей математике.

3. http://www.pm298.ru/ Прикладная математика (Справочник математических формул. Примеры и задачи с решениями).

4. http://www.cleverstudents.ru/ Математика для студентов.

 

Заключение

Применение данного пособия на занятиях по математике позволит организовать повторение изученного материала, индивидуальную работу со студентами, поможет организовать внеаудиторную самостоятельную работу.

Для студентов данное пособие содержит краткий теоретический курс дисциплины, образцы решения типовых заданий, это поможет им при выполнении индивидуальных заданий. Работа с пособием способствует усвоению содержания материала курса, и основных методов решения задач.