Краткие теоретические сведения.

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c: .

Эллипс, заданный каноническим уравнением симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно).

Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии  от центра эллипса О.

Число  называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при  эллипс является окружностью, а при  он вырождается в отрезок длиною 2a).

Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY и , .

Гипербола – геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c: .

Гипербола, заданная каноническим уравнением  симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках  и  - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.

Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

Число  называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые  называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, заданная каноническим уравнением  называется сопряжённой (имеет те же асимптоты). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках  и  - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.

В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле .

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.

Уравнение: (1) Ось симметрии параболы – ось Ox	Уравнение: (2) Ось симметрии параболы – ось Ox
Уравнение: (3) Ось симметрии параболы – ось Oy	Уравнение: (4) Ось симметрии параболы – ось Oy

Кривые 2-го порядка со смещенными центрами (вершинами)

Для того, чтобы понять, как именно расположена кривая относительно системы координат и каковы ее параметры, уравнение можно преобразовать способом выделения полных квадратов. После этого уравнение примет вид одного из невырожденных уравнений кривой 2-го порядка со смещенным центром:

1)  это уравнение эллипса с центром  и осями, параллельными осям  и ;

2)  и   и, эти уравнения определяют гиперболы с центром  и осями, параллельными координатным;

3)  

это параболы с вершиной  и осью, параллельной одной из координатных.

Пример 1. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между фокусами равно 24, а между вершинами 16.

Решение:

 

 

а) по условию

 

 

 

Получим уравнение гиперболы

Пример 2. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот гиперболы 9x²-16y²=144. Сделать чертеж.

Решение. Приведем данное уравнение к каноническому виду (разделив его на 144):

 Отсюда следует, что a²=16, b²=9. Следовательно, a=4 -действительная полуось, b=3 - мнимая полуось. Тогда Значит, фокусы имеют координаты F1(-5,0), F2(5,0). Находим эксцентриситет
Уравнения асимптот имеют вид .

Пример 3. Определить вид кривой, найти ее центр (вершину) и вычислить основные параметры:

а)

б)

а) Преобразуем уравнение. Объединяем члены с одной переменной, коэффициент при квадрате выносим за скобку:

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

Лишние свободные члены из скобок убираем и переносим вправо, тождественно преобразуя левую часть:

 или

Делим на (-36):  

получили уравнение гиперболы с центром , полуосями a=2, b=3, осями параллельными координатным.

Действительная ось гиперболы параллельна оси : x= -1, мнимая – параллельна оси : y=2; .

Фокусы:

Асимптоты гиперболы:

б) Преобразуем уравнение. Так как в данном уравнении только одна переменная имеет степень, равную 2, то это уравнение задает параболу. Тогда в левой части уравнения оставляем переменную второй степени, остальные слагаемые переносим в правую часть, выносим коэффициент перед квадратом за скобку и выделяем в левой части полный квадрат, лишний свободный член переносим вправо, выносим в правой части коэффициент перед переменной за скобку и делим обе части на коэффициент перед скобкой в левой части уравнения.

 

Вершина параболы  

Ось x = 1 – параллельна оси .

Ветви направлены вниз, параметр .

Фокус:  

Директриса: .

Задание для совместного решения.

1. Составить уравнение эллипса, если известно, что разница между его большой и малой полуосью составляет 18, а фокусы находятся на расстоянии 24 от центра.

Ответ:

2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, вычислить все параметры кривой (вершины, фокусы, эксцентриситеты, асимптоты, директрису), выполнить чертеж

а) ;

б) ;

в) .

Ответ: а)  - уравнение эллипса;

        б)  - уравнение параболы;

        в) - уравнение гиперболы.

 

Задания для самостоятельного решения.

Задача №1. Составить уравнение кривой второго порядка, удовлетворяющей следующим условиям.

1	Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 30, а расстояние между фокусами 40.
2	Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет e = 1,4. Найти уравнение гиперболы.
3	Написать каноническое уравнение эллипса, длина малой оси которого равна 6, а фокусное расстояние равно 8.
4	Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между концами большой и малой оси равно 5, а сумма длин полуосей равна 7.
5	Уравнения асимптот гиперболы y = x/2 и y = -x/2, а расстояние между фокусами 2c = 10. Найти уравнение гиперболы.
6	Написать каноническое уравнение эллипса, если расстояния от фокуса до концов большой оси равны 2 и 18.
7	Написать каноническое уравнение гиперболы, если длина действительной оси равна 8, а расстояние между фокусами равно 10.
8	Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 10.
9	Парабола y^2 = 2px проходит через точку A(2, 4). Определить ее параметр p и составить уравнение параболы..
10	Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат а расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Ox.
11	Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 24 и большая ось 26.
12	Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10.
13	Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между центром и фокусом пополам.
14	Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,8;
15	Составить каноническое уравнение эллипса, если его сумма полуосей равна 18 и расстояние между фокусами равно12.
16	Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 32, а расстояние между фокусами 48.
17	Действительная полуось гиперболы равна 10, эксцентриситет ε= 2. Найти уравнение гиперболы.
18	Написать каноническое уравнение эллипса, длина малой оси которого равна 16, а фокусное расстояние равно 10.
19	Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между концами большой и малой оси равно 10, а сумма длин полуосей равна 14.
20	Уравнения асимптот гиперболы y = ± 5x/6, а расстояние между фокусами 20. Найти уравнение гиперболы.
21	Написать каноническое уравнение эллипса, если расстояния от фокуса до концов большой оси равны 4 и 16.
22	Написать каноническое уравнение гиперболы, если длина действительной оси равна 10, а расстояние между фокусами равно 18.
23	Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 8.
24	Парабола y^2 = 2px проходит через точку A(3, 6). Определить ее параметр p и составить уравнение этой параболы.
25	Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат а расстояние от фокуса до вершины равно 3 единицам длины, а осью симметрии служит ось Oу.
26	Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 12 и большая ось 20.
27	Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между вершинами равно 16, расстояние между фокусами равно 20.
28	Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что действительная полуось равна 24, вершины делят расстояние между центром и фокусом пополам.
29	Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,6;
30	Составить каноническое уравнение эллипса, если его сумма полуосей равна 34 и расстояние между фокусами равно 48.

Задача №2. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду, вычислить все параметры кривой (вершины, фокусы, эксцентриситеты, асимптоты, директрису), выполнить чертеж.

	а	б	в^*
1	9x^2 +25y^2 = 225.	y^2= 12x
2		y^2= - 16 x
3	6x^2+15y^2=90	x^2= 6y	x^2-2x-4y-3=0
4	9 x^2-16 y^2=144		y^2-3x-10y+31=0
5	x^2+2y^2=8		9x^2+4y^2-18x-8y-23=0
6	9 x^2+ y^2=36		x^2-8x-y+15=0
7			x^2+2y^2+8x-4=0
8	.		y^2-6x+14y+49=0
9			x^2-8y^2-10x+16y+1=0
10	45		2x^2+8x-y+12=0
11			12x^2+3y^2-30y-32=0
12	72		2y^2-8y+x+3=0
13	400		x^2-8y^2-10x+16y+1=0
14	576		x^2-6x-4y+29=0
15	18		y^2-x^2+2x-6y=0
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Занятие 5^*. Уравнение плоскости