Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Краткие теоретические сведения.
Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение уравнения вида y( n) = f(x) может быть найдено последовательным интегрированием. и т.д. Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: (1),где p и q – константы (числа), а в правой части – строго ноль. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением данного уравнения (1). Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через k1 и k2. Общая схема решения ЛОДУ приведена в таблице: Линейное неоднородное уравнение второго порядка имеет вид: y''+ ρ x+qy = f (x) (3), где f (x) – непрерывная функция, отличная от нуля. Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения (3) и общего решения yо соответствующего однородного уравнения (1): . 1) Пусть правая часть имеет вид f (x)= e α x Pn (x), где Pn (x) – многочлен степени n. Тогда частное решение ищем в виде , где Qn (x) – многочлен той же степени, что и Pn (x) с неопределенными коэффициентами , а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения (2). 2) Пусть правая часть имеет вид и α+β i, (α–β i) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде . Если же α+β i, (α–β i) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде . Пример 1. Найти общее уравнения y''–y' –2 y =0. Решение. Характеристическое уравнение имеет вид Общее решение уравнения имеет вид y = C 1 e-x + C 2 e 2 x . Пример 2. Найти общее решение уравнения y'' –2 y' + y =0. Решение. Характеристическое уравнение имеет вид Общее решение уравнения имеет вид y = ex (C 1+ C 2 x). Пример 3. Найти общее решение уравнения y'' –4 y' +13 y =0. Решение. Характеристическое уравнение имеет вид Общее решение уравнения имеет вид y = e 2 x (C 1 cos3 x + C 2sin3 x). Пример 4. Найти общее решение уравнения y'' –2 y'+y = x 2+1. Решение. 1. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид yo = ex (C 1+ C 2 x) (см. пример 2).
2. Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (e α x =0, α=0), то частное решение ищем в виде , где А, В, С – неизвестные коэффициенты. 3. Дифференцируем дважды
Подставляем в данное уравнение, находим 2 A– 4 Ax– 2 B+Ax 2 +Bx+C=x 2 + 1, Ax 2 + (B– 4 A) x+ 2 A– 2 B+C=x 2 + 1. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А =1, В -4 А =0, 2 А -2 В + С =1, Находим А =1, В =4, С =7. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение - . Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y o = C 1 ex + C 2 e –2 x (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e α x при α=2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде =A ∙ e 2 x . Дифференцируя дважды и подставляя в уравнение получаем: Частное решение данного уравнения и общее решение запишется в виде Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. . Подставляем начальные условия в у и у', находим С 1 и С 2: . . Пример 6. Найти общее решение уравнения . Решение. Характеристическое уравнение k 2+1=0 имеет корни k 1= i, k 2=- i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y = C 1cos x + C 2sin x. В правой части тригонометрическая функция то есть a =0, b =1, β=2. Так как β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: . Дифференцируя дважды и подставляя его в дифференциальное уравнение, получим , откуда , т.е. частное решение , а общее решение уравнения: . Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Понижаем степень уравнения до первого порядка Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:
. Ответ: общее решение: Задания для совместного решения.
Задания для самостоятельного решения.
Занятие 11. Случайные величины
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-17; просмотров: 102; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.14.85.76 (0.022 с.) |