Краткие теоретические сведения.

Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b – мнимой частью (b = Im z). Если a = Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Числа  и называются комплексно – сопряженными.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

. Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа: ,  Из геометрических соображений видно: . Для числа z = 0 аргумент не определён. В остальных случаях аргумент может быть найден из соотношения:

  и таблицы:

x		1		0		-1
arctg x				0
	60^о	45^о	30^о	0^о	-30^о	-45^о	-60^о	30^о	-30^о

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание.

2) Умножение.

В тригонометрической форме: ,

В случае комплексно-сопряженных чисел:

3) Деление.

В тригонометрической форме:  

4) Возведение в степень.

, где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.

5) Извлечение корня из комплексного числа.

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользоваться формулой Эйлера: , то получим . Полученное равенство есть показательная форма комплексного числа.

Пример 1.

а) (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

б)  (5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;

в)  (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i;

г)

д) Для числа  найти тригонометрическую форму и вычислить   z²⁰

Число  представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения  воспользуемся формулой Муавра.

е) Для числа z из предыдущего примера вычислить  .

Задания для совместного решения:

Выполнить с данными комплексными числами следующие действия:

а)    б)   в)   г) Число  представить в тригонометрической и показательной форме и найти .

Ответ: а) 3-i,б) -8+9i в) -4 -  г) z₃=2(cos150⁰+i sin 150⁰), z₃¹⁰=1024(cos 60⁰+i sin 60⁰), , , .

Задания для самостоятельного решения

Выполнить с данными комплексными числами  следующие действия:

а)    б)   в)   г) Число  представить в тригонометрической и показательной форме и найти

	z1	z2	z3	степень числа n	степень корня n
1		2+2i	1 +	8	3
2		-i	-1 – i	6	4
3		1+i	- 6 i	10	3
4	i	2 – i	-	12	4
5	1-i	3 + 4 i	2 i	8	3
6	6 + 3 i	i		6	4
7	3 – i	6 + 2 i		12	3
8	1 – 2 i	2 – 3 i	2 + 2 i	10	4
9	5+4i	5 – 4 i	-1 + i	6	4
10	3+3 i	4 + 2 i		8	3
11		2- i	- 1 +	10	3
12		1 -i	-1 + i	12	4
13		1+i	3 i	10	4
14	i	3 +2 i		8	3
15	1+2 i	3 + 4 i	2- 2 i	6	3
16	6 + 3 i	- i		10	4
17	3 +2 i	4 + 2 i		12	4
18	1 + 2 i	2 – 3 i	2 - 2 i	10	4
19	3 +4i	2 – 4 i	1 + i	8	3
20	3+2 i	4 + i		6	3
21		2+ i	- 1 +	10	3
22		1+ i	3 +3 i	12	4
23		5- i	2 i	10	3
24	i	4 +2 i	-	16	4
25	1- 3 i	5 + 4 i	2+ 2 i	8	3
26	6 - 3 i	4- i		10	4
27	2 +2 i	4- 2 i		12	3
28	3 + 2 i	2 – 3 i	2 + 2  i	10	4
29	5 +3 i	2 + 4 i	- 1 + i	12	3
30	4-2 i	4 + i		8	4

Занятие 7. Неопределенный интеграл

Краткие теоретические сведения.

Таблица неопределенных интегралов.

Свойства неопределенного интеграла.

Замена переменной в неопределенном интеграле:

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле:

.

В таблице приведены типичные интегралы, которые интегрируются по частям и способы разбиения этих интегралов на части.

Пример 1. Найти неопределенные интегралы:

а).
б).
в).
г).
д)
е)

 

              Задания для совместного решения.

	Найти неопределенные интегралы	Ответ
1
2
3
4
5

Задания для самостоятельного решения.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Занятие 8. Определенный интеграл