Краткие теоретические сведения.

Задания для совместного решения.

№1 Вычислить матрицу D = 3A + 2B, где

Ответ:

№2. Даны матрицы А и В. Найти матрицу E = A^T × A + B

 Ответ:

№3. Вычислить определители матриц:

   Ответ: 13; -6

Задания для самостоятельного решения:

 

№1.Даны матрицы:

             В= С=

Найти матрицу, равную значению выражения.

№ варианта	Выражение	№ варианта	Выражение
1		6	D × B - 2A^T
2		7	D × A^T+2B
3		8	А × В+3С^Т
4		9	A × D -4 B^T
5	2 × A × D+B^T	10	2 × A × B + C^T
11		21
12		22
13		23
14		24
15	3 × A × D+B^T	25	2 × A × D - B^T
16	D × B - 2A^T	26	D × B - 3 A^T
17	D × A^T - 2B	27	D × A^T+ 3 B
18	А × В-3С^Т	28	А × В+2С^Т
19	A × D -3 B^T	29	A × D +4 B^T
20	3 × A × B + C^T	30	2 × A × B - C^T

№2.Вычислить определители матрицы

а) по любой строке или столбцу

б) по правилу треугольника

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

 

Занятие 2. Решение систем линейных уравнений

Краткие теоретические сведения.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система уравнений: 

Составляются матрицы: A = ;  B = ;

Решением системы является матрица-столбец X = , определяемая по формуле:

Х = А^-1 ×В.

        - матрица, обратная матрице А. Обратная матрица может быть определена различными способами. Один из них – с помощью алгебраических дополнений.

.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

А₁₁ = (-1)¹⁺¹           А₂₁ = (-1)²⁺¹             А₃₁ = (-1)³⁺¹    

А₁₂ = (-1)¹⁺²       А₂₂ = (-1)²⁺²             А₃₂ = (-1)³⁺²

А₁₃ =(-1)¹⁺³        А₂₃ = (-1)²⁺³            А₃₃ = (-1)³⁺³

A^-1 = ;

Х= = А^-1В = × = .

Решение системы: x =1; y = 2; z = 3.

Метод Крамера.

       Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными  в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D_i/D, где

D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

D_i =

       Пример 2. Найти решение системы уравнений:

D =  = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.                      x₁ = D₁/D = 1;

D₂ =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.               x₂ = D₂/D = 2;

D₃ =  = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.                x₃ = D₃/D = 3.

Метод Гаусса.

       Рассмотрим систему линейных уравнений:

       Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д.

Получим:

, где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j    i = 2, 3, …, n;  j = 2, 3, …, n+1.

       Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

       Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Задания для совместного решения.

Решить данную систему

а) методом обратной матрицы

б) методом Крамера

в) методом Гаусса

 Ответ: (1; 2; -1)

Задания для самостоятельного решения

Решить данную систему

а) методом обратной матрицы

б) методом Крамера

в) методом Гаусса

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Занятие 3. Векторы

Задания для совместного решения.

Даны векторы , ,

Вычислить:

а) вектор

б) модули векторов  и

в)

г) угол между векторами  и

д) проекцию вектора  на вектор

е) векторное произведение

ж) площадь параллелограмма и площадь треугольника, построенного на векторах  и

з) смешанное произведение векторов . Являются ли векторы компланарными?

и) объем параллелепипеда и объем тетраэдра, построенных на векторах

Ответ: а)  б)  в) 5 г) arccos  д)  е)  ж)  з) -73, не являются и)

Задания для самостоятельного решения.

Для данных векторов  вычислить:

а) вектор  

б) модули векторов  и

в)

г) угол между векторами  и

д) проекцию вектора  на вектор

е) векторное произведение

ж) площадь параллелограмма и площадь треугольника, построенного на векторах  и

з) смешанное произведение векторов . Являются ли векторы компланарными?

и) объем параллелепипеда и объем тетраэдра, построенных на векторах

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

 

Занятие 4. Прямая линия на плоскости

Задание для совместного решения.

1. Составить уравнение эллипса, если известно, что разница между его большой и малой полуосью составляет 18, а фокусы находятся на расстоянии 24 от центра.

Ответ:

2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, вычислить все параметры кривой (вершины, фокусы, эксцентриситеты, асимптоты, директрису), выполнить чертеж

а) ;

б) ;

в) .

Ответ: а)  - уравнение эллипса;

        б)  - уравнение параболы;

        в) - уравнение гиперболы.

 

Задания для самостоятельного решения.

Задача №1. Составить уравнение кривой второго порядка, удовлетворяющей следующим условиям.

1	Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 30, а расстояние между фокусами 40.
2	Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет e = 1,4. Найти уравнение гиперболы.
3	Написать каноническое уравнение эллипса, длина малой оси которого равна 6, а фокусное расстояние равно 8.
4	Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между концами большой и малой оси равно 5, а сумма длин полуосей равна 7.
5	Уравнения асимптот гиперболы y = x/2 и y = -x/2, а расстояние между фокусами 2c = 10. Найти уравнение гиперболы.
6	Написать каноническое уравнение эллипса, если расстояния от фокуса до концов большой оси равны 2 и 18.
7	Написать каноническое уравнение гиперболы, если длина действительной оси равна 8, а расстояние между фокусами равно 10.
8	Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 10.
9	Парабола y^2 = 2px проходит через точку A(2, 4). Определить ее параметр p и составить уравнение параболы..
10	Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат а расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Ox.
11	Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 24 и большая ось 26.
12	Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10.
13	Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между центром и фокусом пополам.
14	Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,8;
15	Составить каноническое уравнение эллипса, если его сумма полуосей равна 18 и расстояние между фокусами равно12.
16	Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 32, а расстояние между фокусами 48.
17	Действительная полуось гиперболы равна 10, эксцентриситет ε= 2. Найти уравнение гиперболы.
18	Написать каноническое уравнение эллипса, длина малой оси которого равна 16, а фокусное расстояние равно 10.
19	Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между концами большой и малой оси равно 10, а сумма длин полуосей равна 14.
20	Уравнения асимптот гиперболы y = ± 5x/6, а расстояние между фокусами 20. Найти уравнение гиперболы.
21	Написать каноническое уравнение эллипса, если расстояния от фокуса до концов большой оси равны 4 и 16.
22	Написать каноническое уравнение гиперболы, если длина действительной оси равна 10, а расстояние между фокусами равно 18.
23	Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 8.
24	Парабола y^2 = 2px проходит через точку A(3, 6). Определить ее параметр p и составить уравнение этой параболы.
25	Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат а расстояние от фокуса до вершины равно 3 единицам длины, а осью симметрии служит ось Oу.
26	Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 12 и большая ось 20.
27	Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между вершинами равно 16, расстояние между фокусами равно 20.
28	Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что действительная полуось равна 24, вершины делят расстояние между центром и фокусом пополам.
29	Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,6;
30	Составить каноническое уравнение эллипса, если его сумма полуосей равна 34 и расстояние между фокусами равно 48.

Задача №2. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду, вычислить все параметры кривой (вершины, фокусы, эксцентриситеты, асимптоты, директрису), выполнить чертеж.

	а	б	в^*
1	9x^2 +25y^2 = 225.	y^2= 12x
2		y^2= - 16 x
3	6x^2+15y^2=90	x^2= 6y	x^2-2x-4y-3=0
4	9 x^2-16 y^2=144		y^2-3x-10y+31=0
5	x^2+2y^2=8		9x^2+4y^2-18x-8y-23=0
6	9 x^2+ y^2=36		x^2-8x-y+15=0
7			x^2+2y^2+8x-4=0
8	.		y^2-6x+14y+49=0
9			x^2-8y^2-10x+16y+1=0
10	45		2x^2+8x-y+12=0
11			12x^2+3y^2-30y-32=0
12	72		2y^2-8y+x+3=0
13	400		x^2-8y^2-10x+16y+1=0
14	576		x^2-6x-4y+29=0
15	18		y^2-x^2+2x-6y=0
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Занятие 5^*. Уравнение плоскости

Задания для совместного решения.

1. Вычислить определенные интегралы:

а)   Ответ: 36

б)                 Ответ:

в)      Ответ:

2. Определить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² + 1 и прямой x + y = 3. (Ответ: 4,5).

3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x² и x = y². (Ответ: 0,3π)

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить определенные интегралы