Краткие теоретические сведения

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

 тогда сумма и умножение вектора на число соответствует аналогичной операции с координатами

Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними ×  = ï ïï ïcosj

Если рассматривать векторы  в декартовой прямоугольной системе координат, то ×  = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Проекция вектора на вектор определяется по формуле:

.

В координатной форме формула для проекции примет вид

.

Если заданы векторы и  в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то векторное произведение – вектор, координаты которого определяются с помощью определителя:

 

´ =

 

 

Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Пример:

Заданы два вектора в пространстве  и . Найти а) сумму этих векторов б) их разность в) косинус угла между ними г) векторное произведение векторов.

Решение.

Сумма векторов:

Разность векторов:

Косинус угла α между векторами:

.

Векторное произведение:

Смешанное произведение векторов.

Если , , то

                                          

                                        - смешанное произведение векторов.

 

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Условие компланарности:

Пример 1: Вычислить смешанное произведение векторов

Решение:

Задания для совместного решения.

Даны векторы , ,

Вычислить:

а) вектор

б) модули векторов  и

в)

г) угол между векторами  и

д) проекцию вектора  на вектор

е) векторное произведение

ж) площадь параллелограмма и площадь треугольника, построенного на векторах  и

з) смешанное произведение векторов . Являются ли векторы компланарными?

и) объем параллелепипеда и объем тетраэдра, построенных на векторах

Ответ: а)  б)  в) 5 г) arccos  д)  е)  ж)  з) -73, не являются и)

Задания для самостоятельного решения.

Для данных векторов  вычислить:

а) вектор  

б) модули векторов  и

в)

г) угол между векторами  и

д) проекцию вектора  на вектор

е) векторное произведение

ж) площадь параллелограмма и площадь треугольника, построенного на векторах  и

з) смешанное произведение векторов . Являются ли векторы компланарными?

и) объем параллелепипеда и объем тетраэдра, построенных на векторах

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

 

Занятие 4. Прямая линия на плоскости