Краткие теоретические сведения.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. Вектор  называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с нормальным вектором , имеет вид

Пусть на плоскости заданы две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x_2, y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Определение. Каждый ненулевой вектор {a₁, a₂}, координаты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

Геометрически направляющий вектор – вектор, параллельный прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку  с направляющим вектором  имеет вид: . Уравнение, записанное в таком виде называется каноническим. Путем преобразований оно может быть сведено к общему виду.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Определение. Если заданы две прямые А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0, то острый угол между этими прямыми будет определяться как .

Две прямые параллельны, если .

Две прямые перпендикулярны, если =0.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой Ах + Ву + С = 0 представляется уравнением: Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и параллельная к прямой Ах + Ву + С = 0  представляется уравнением:

Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

Пример 1. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1).

а) Составить уравнения сторон треугольника

б) Найти уравнение высоты CD, проведенной из вершины С.

в) Найти координаты точки D

г) Найти длину высоты CD

д) Составить уравнение медианы MN, параллельной стороне АВ

е) Вычислить косинус угла А.

Решение.

а) Находим уравнение стороны АВ:

;

4x = 6y – 6;

       2x – 3y + 3 = 0;

Уравнение ВС:

      

Уравнение AC

      

б) Высота CD лежит на прямой, проходящей через точку С, перпендикулярно прямой АВ. Тогда ее уравнение:

в) Координаты точки D находятся как координаты точки пересечения прямых CD и АВ.

г) Длину высоты АВ можно определить как расстояние от точки С до прямой АВ.

д) Уравнение медианы MN составим как уравнение прямой, проходящей через точку М – середину стороны АС, параллельно прямой АВ. Найдем координаты М

. Уравнение MN:

е) Косинус угла А вычислим как косинус угла между прямыми АВ и АС.

Задание для совместного решения:

Даны координаты вершин треугольника : А(1;4), В(-2; 3), С(3; -2). Найти:

      а) Уравнения сторон треугольника

б) Уравнение высоты АD и ее длину

в) Координаты точки D.

г) Уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно ВС

д) Угол В в градусах (округлить до целого значения)

Сделать чертеж.

Ответ: а) АВ:  ВС:  AC:

б) , ≈2,8 в)  г)  д)

Задание для самостоятельного решения:

  Даны координаты вершин треугольника . Найти:

      а) Уравнения сторон треугольника

б) Уравнение высоты АD и ее длину

в) Координаты точки D.

г) Уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно ВС

д) Угол В в градусах (округлить до целого значения)

	А	В	С
1	(-5; 10)	(11; -2)	(4; 22)
2	(-9; 6)	(7; -6)	(0; 18)
3	(4; -9)	(16; -25)	(-8; -18)
4	(-6; 10)	(10; 22)	(3; -2)
5	(-8; 8)	(-20; -8)	(4; -1)
6	(-6; 4)	(10; -8)	(3; 16)
7	(5; 9)	(17; 25)	(-7; 18)
8	(-4; 4)	(-16; -12)	(8; -5)
9	(-3; -10)	(-15; 6)	(9; -1)
10	(1; 10)	(-11; 26)	(13; 10)
11	(-5; 10)	(11; -2)	(4; 22)
12	(-9; 6)	(7; -6)	(0; 18)
13	(4; -9)	(16; -25)	(-8; -18)
14	(-6; 10)	(10; 22)	(3; -2)
15	(-8; 8)	(-20; -8)	(4; -1)
16	(-6; 4)	(10; -8)	(3; 16)
17	(5; 9)	(17; 25)	(-7; 18)
18	(-4; 4)	(-16; -12)	(8; -5)
19	(-3; -10)	(-15; 6)	(9; -1)
20	(1; 10)	(-11; 26)	(13; 10)
21	(-5; 10)	(11; -2)	(4; 22)
22	(-9; 6)	(7; -6)	(0; 18)
23	(4; -9)	(16; -25)	(-8; -18)
24	(-5; 10)	(11; -2)	(4; 22)
25	(-9; 6)	(7; -6)	(0; 18)
26	(12;6)	(2;-3)	(9;21)
27	(9;-1)	(-5;12)	(2;-12)
28	(0;-2)	(13;20)	(-11;13)
29	(4;5)	(-10;11)	(-3;-13)
30	(1;10)	(15;20)	(8;-4)

Занятие 5. Кривые второго порядка