Показательная и логарифмическая функции

Функция

называется показательной, потому что независимая переменная х входит в показатель степени. При а = 1 имеем постоянную функцию; кроме того, при а = -3 и х = ½ получаем . Такого действительного числа не существует, поэтому считаем, что . Обратную функцию получим по стандартной схеме: , . Величина у здесь – это показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить х, т.е.

Графики прямой и обратной функций при а >1 имеют вид:

 

По определению . При а <1 графики имеют другой вид. Обе функции являются убывающими. Для логарифмов по основаниям 10 и е вводятся специальные обозначения:

Показательная функция  называется экспонентой.

 

 

Пример. Распад радиоактивной массы отходов вычисляется по формуле

,

t – время, m ₀ – масса отходов в начальный момент времени, m (t) – масса в момент t. Параметр k находят опытным путем.

Для одного из изотопов кобальта k = 0,13. Найдем массу через 5,2 года, если исходная масса m = 100г.

г.

Фактически 5,2 года – период полураспада.

Элементарные функции

Кроме рассмотренных функций, в школе изучают тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.

Главное свойство тригонометрических функций – периодичность, они все имеют период 2p, т.е.

 и т.д.

Степенная, показательная и логарифмическая функции периодическими не являются.

Самые разнообразные процессы в живой и неживой природе являются периодическими: колебательные и вращательные движения, волновые явления, движение планет, биоритмы и т.д.

Функции, как и числа, можно складывать, вычитать, умножать и делить. При делении одной линейной функции на другую получим дробно – линейную функцию:

При сложении нескольких степенных функций получаются степенные многочлены:

Вейерштрасс доказал, что любую непрерывную функцию можно приближать многочленами с любой степенью точности. Например:

Чем больше n (число слагаемых), тем выше точность.

Рассмотрим пример с массой кобальта. Ограничимся тремя слагаемыми:

Подставим в формулу (х = 0,676):

г.

Это довольно грубо. Возьмем четыре слагаемых:

Более точное значение:

г.

Если один многочлен поделить на другой, получится дробно - рациональная функция; например:

Над функциями можно производить операцию, которая не имеет аналога у чисел. Это операция композиции. Например, рассмотрим функции  и . Их композицией будет функция

.

Точно так же функция

представляет собой композицию функций  и . Композиции двух или нескольких функций называются сложными функциями.

Элементарными функциями называются постоянные, линейные, степенные показательные, логарифмические и тригонометрические функции, а также функции, которые получаются из них с помощью конечного числа арифметических операций и операций композиции.

Корреляционная зависимость

Рассмотрим пример. Между ростом и весом человека существует определенная зависимость. Однако много людей с одинаковым ростом имеют разный вес. Такая зависимость не является функциональной, поскольку для функций каждому х соответствует единственное значение у.

Можно предположить, что вес зависит не только от роста, но и от размера талии и прочих параметров, но она является очень сложной и пока никем не обнаружена. Можно считать, что вес человека зависит от ряда случайных величин, среди которых рост является одной из основных. Эту зависимость описывают с помощью понятия вероятности. Зависимости такого рода называются стохастическими, вероятностными или статистическими. Важнейшим видом здесь является корреляционная зависимость.

Рассмотрим в качестве примера вес и рост двадцати курсантов школы МВД:

Номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Рост	178	170	181	173	169	178	177	165	187	182
Вес	72	65	92	75	68	79	78	67	80	81

 

Номер	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Рост	159	182	178	173	176	173	198	187	191	170
Вес	56	82	77	63	80	65	85	89	87	72

Изобразим точки графически:

 

Точки лежат внутри некоторой области, или «облака». Заметно, что облако вытянуто вдоль какой – то наклонной прямой. Это означает, что Х и Y хорошо коррелированы, т.е. при увеличении роста вес, как правило, тоже увеличивается. Соединим точки отрезками, получим эмпирическую ломаную регрессии. При большем числе измерений эта ломаная больше похожа на прямую.

Прямая, к которой стремится ломаная, называется регрессией. Она является наилучшим решением задачи построения прямой, относительно которой сумма квадратов вертикальных отклонений экспериментальных точек будет наименьшей. Это задача метода наименьших квадратов.

Уравнение искомой прямой имеет вид:

,

где .

Здесь  - средние значения роста, веса и их попарных произведений,  - дисперсия роста.

Подставим в формулы, получим:

Получим уравнение прямой:

Это эмпирическое уравнение регрессии.

Величина r, определяемая по формуле:

,

называется коэффициентом корреляции. Здесь , , , .

Отсюда

.

Свойства коэффициента корреляции:

1. .

2. Если величины Х и Y независимы, то коэффициент корреляции равен нулю.

3. Если Х и Y связаны линейной зависимостью,то r = 1 или r = - 1, и наоборот.

При совместном изучении двух случайных величин Х и Y прежде всего находят величину коэффициента корреляции, и если он оказывается близким к единице, то имеет смысл описывать корреляционную связь.

Идея предела

Предел функции

Начнем с рассмотрения понятия непрерывности функции. В качестве примера возьмем функцию y = f (x) = x ². Значение функции в точке 2, т.е. f(2) = 2² =4. Рассмотрим на оси х бесконечную последовательность точек с координатами: х₁ = 2 – 1 = 1; х₂ = 2 – ½ = 3/2; х3 = 2 – ¼ = 1 ¾; … Любое из этих чисел меньше двух. Эти точки скапливаются около точки х₀ = 2.

Разности х₀ – х _k, k >0 уменьшаются в 2 раза и могут стать меньше любого наперед заданного малого положительного числа. Поэтому говорят, что последовательность х₁, х₂, х₃, … стремится к числу 2 или имеет своим пределом число2. при этом функция ведет себя так:

Это бесконечная последовательность. С увеличением k дроби стремятся к нулю, поэтому y_k стремится к четырем:

,

lim – от латинского limes т.е. граница.

Можно взять другую последовательность: 2 – 1; 2 – 1/10; 2 – 1/100 и т.д.

Она также имеет своим пределом число 2. Таких последовательностей можно указать сколько угодно. Зависит ли предел функции от выбора последовательности, т.е. от того, каким образом переменная х стремится к двум? Нет, не зависит. Строгое определение предела функции включает в себя требование независимости от выбора последовательности.

Когда предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, говорят, что функция непрерывна в этой точке.

Рассмотрим предел:

Здесь и числитель, и знаменатель при х = 1 обращаются в нуль. Поэтому нельзя найти предел, просто подставив единицу. Выполним преобразование:

Получили новую функцию g (x) = x – 2, где х может принимать любые значения. Во всех точках, кроме х = 1, выполняется тождество f (x) º g (x). График функции g (x) – это прямая. Функция f (x) в точке х = 1 не является непрерывной. График - тоже прямая, но без точки (1; - 1). Поэтому

 

Правила вычисления пределов

1. Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций. Например:

2. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций. Например:

Существуют два важных предела, которые называются замечательнымипределами:

- первый замечательный предел: ;

- второй замечательный предел:

Производная

Производная функции f (x) в точке х представляет собой следующий предел:

В числителе стоит приращение функции на отрезке [ x, x + h ].

Физический смысл производной: если рассмотреть функцию пути тела – s(t), то её производная представляет собой мгновенную скорость тела, т.е.

Производные от некоторых функций:

1. Производная от постоянной функции равна нулю, т.к., если функция не меняется, то её приращение равно нулю: f (x + h) – f (x) = 0/

2. Производная степенной функции :

По определению . По формуле бинома Ньютона:

.

Вычтем х _n, поделим почленно на h и запишем предел суммы как сумму пределов:

Все пределы, кроме первого, равны нулю, поэтому:

Правило применимо и для отрицательных степеней.

3. Производная синуса:

Аналогично доказывается, что .

4. Производная от показательной функции у = а^х:

При а = е получаем .

5. Производная от логарифмической функции :

При а = е получаем .

При вычислении производных пользуются следующими правилами, которые выводятся с помощью правил вычисления пределов:

,

Производная от сложной функции f (u (x)) вычисляется по формуле:

Например:

;

Приложения производной очень широкие.

Производная от пути – это скорость. Производная скорости – ускорение, т.е. скорость изменения скорости. Задачи на нахождение наибольших и наименьших (экстремальных) значений заключаются в следующем: если непрерывная функция принимает в некоторой точке экстремальное значение и производная в этой точке существует, то производная в этой точке равна нулю.

Пример. В тюрьме строят железную камеру для содержания особо опасных преступников. Какое наименьшее количество железа нужно для этой цели, если по санитарным нормам высота камеры не менее 2,5 м, а площадь – не менее 6 м²?

Решение. Количество железа пропорционально площади поверхности камеры – параллелепипеда. Пол и потолок имеют площадь ab каждый, две боковые стены по 2,5 а, две другие стены – по 2,5 b. Тогда площадь равна S = 2 ab + 5 a + 5 b. При этом ab = 6 (b = 6/ a). Следовательно, S = 2×6 + 5(а + b) = 12 + (а + 6/ а). Величину а можно выбирать произвольно, она является переменной. Для минимизации функции S (a) следует приравнять нулю S ’ (a):

Отсюда , следовательно, . При этом S будет наименьшей. Она равна (м²).

Интеграл

Различают определенный и неопределенный интеграл. Процедура нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием, а обратная процедура, позволяющая находить по заданной производной исходную функцию, называется интегрированием. Результат интегрирования называется первообразнойфункцией. Поскольку производная от постоянной равна нулю, то

,

где С – любое действительное число. Поэтому, если для заданной функции f (x) существует одна первообразная F (x), то их существует бесконечно много: F (x) + C. Совокупность всех первообразных заданной функции f (x) называется неопределенныминтегралом и обозначается . Например:

, т.к. .

, т.к.  и т.д.

Присутствующая всюду постоянная С называется постояннойинтегрирования.

Простейшее применение определенного интеграла – вычисление площади под кривой.

Чтобы найти S, разобьем отрезок [ a, b ] на маленькие отрезки длиной h.

Верхняя граница заштрихованной фигуры находится между отрезками MN и PQ.

Такие неравенства запишем для каждого из отрезков длины h, на которые разбит отрезок [ a, b ], а затем все такие неравенства сложим. Получим неравенства:

S ₁ и S ₂ являются функциями от h. Если h неограниченно уменьшать , то S ₁ будет увеличиваться, а S ₂ - уменьшаться. Обе суммы имеют своим общим пределом число S - площадь фигуры.

Площадь получается как предел  или , который называется определенным интегралом и обозначается

. Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливается формулой Ньютона – Лейбница:

,

где через F (x) обозначена первообразная функции f (x).

Пример. Площадь под параболой . Здесь а = 0, b = 1, поэтому

.

Математические структуры

В основе математики лежит понятие множества. Множеством называют всякую совокупность каких-либо предметов. Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами.

Если элемент а принадлежит множеству М, то пишут Например,  Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А, и записывают  Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Ø. По определению считается, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Кольца и поля

Числовые множества  имеют одинаковые алгебраические свойства:

1)                     5)

2)        6)                  (1)

3)                          7)

4)

По этим же правилам производятся операции с многочленами, со всеми элементарными функциями, с рядами. В свойствах (1) отражены некоторые общие свойства указанных множеств. Любое множество с такими свойствами называется кольцом.

Кольцо - это такое множество, на котором заданы две функции – сложение и умножение – которые должны подчиняться правилам (1), которые называются аксиомами кольца.

Операция деления в кольце, вообще говорят, отсутствует. Кольца, в которых можно делить на любой элемент, кроме нуля, называются полями.

Пример. Докажем, что относительность обычных операций сложения и умножения числа вида с рациональными а и b образует поле.

Обозначим это множество чисел через Р. Покажем, что множество Р замкнуто относительно сложения и умножения. Пусть тогда

 

Числа в скобках тоже являются рациональными числами. Проверим деление:

В скобках – рациональные числа, причем знаменатель в поле рациональных чисел в нуль не обращается , следовательно, множество Р – поле.

Пример. Все целые числа разделим на 6 частей: , которые называются классами вычетов по модулю 6. из чисел, кратных 6, из чисел, дающих при делении на 6 единицу в остатке, из чисел, дающих при делении на 6 двойку остатка, и т.д. Произвольное число класса  

Можно записать в виде

Сложение классов определим формулой:

если

если

Например,

Умножение определим так: где m – остаток от деления k × l на 6.

Классы вычетов по модулю 6 образуют кольцо относительно введенных операций сложения и умножения:

Здесь кольцо построено всего из шести элементов, обозначающих . Можно построить аналогично кольцо  по любому модулю содержащему всего m элементов.

Являются ли кольца вычетов полями? Попробуем разделить на в кольце  Пусть , тогда Согласно определению

При любом x имеем частного не существует, следовательно, кольцо не является полем.

Однако таким же способом можно показать, что кольца  будут полями. Общий результат формулируется так: кольцо является полем тогда и только тогда, когда простое число.