Классическое определение вероятности

Вероятность представляет собой количественную характеристику возможности наступления некоторого случайного события.

Рассмотрим испытания, в результате которого может появиться событие А. Каждый исход, при котором осуществляется событие А, называется благоприятным событию А

Например, событие А – «четное число очков при одном бросании игральной кости». Из шести равно возможных исходов (от 1 до 6) три исхода (2, 4, 6) являются благоприятными событию А.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания.

Обозначается вероятность события А через Р (А), т.е.

,

где m - число элементарных исходов, благоприятных А, n - число всех исходов.

    Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1) Вероятность достоверного события равна единице: Р (W) = 1.

2) Вероятность невозможного события равна нулю: Р (ø) = 0

3) Вероятность случайного события заключена между нулем и единицей, т.е. 0 ≤ P (A) < 1

При решении задач на вычисление вероятностей возникают трудности, связанные с определением числа тех или иных исходов испытания. В таких случаях используют комбинаторные формулы.

Пример. Преступник знает, что шифр сейфа состоит из цифр 1, 3, 7, 9, но не знает, в каком порядке их набирать. Определить вероятность того, что первые 2 цифры шифра будут набраны верно, а также вероятность того, что сейф будет открыт с первой попытки.

Решение. В первом случае исходом будет упорядоченная пара первых двух цифр шифра. Число таких пар равно числу размещений из 4 – х элементов по 2, . Только один исход является благоприятным, и его вероятность равна 1/12. Во втором случае исходом является перестановка из цифр 1, 3, 7, 9. Число всех исходов . Только один исход является благоприятным, поэтому вероятность открыть сейф с первой попытки равна 1/24.

Свойства вероятности

Теорема 1. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)                                                                           (1)

Доказательство. Пусть число всех исходов равно n. В число исходов, благоприятных событию А+В, входят все исходы, благоприятные событию А, и все исходы, благоприятные событию В. Так как А и В несовместны, то среди перечисленных исходов нет одинаковых. Поэтому . Следовательно,

, что и требовалось доказать. ■

Задача. В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?

Решение. Обозначим события: А – «вынут синий шар», В – «вынут красный шар».

А и В несовместны, поэтому по формуле (1) .

Теорема 2. Справедлива формула:

                                                                                        (2)

Доказательство. События А и  несовместны, поэтому по формуле (1)

С другой стороны, событие  является достоверным, поэтому . Следовательно, , что и требовалось доказать. ■

Задача. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,001. Какова вероятность того, что владелец билета ничего не выиграет?

Решение. Обозначим события: А – «выигрыш», В – «не выигрыш». По формуле (2)

.

Замечание. Формулу (1) можно распространить на любое число событий. Методом математической индукции доказывается, что если события А₁, А₂, …, А _n попарно несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле:

                                            (3)