Десятичные дроби и действительные числа

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десяти, называются десятичными дробями. Записываются они особым образом:

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде десятичной иногда приводит к бесконечной десятичной дроби. Например, разделив «уголком», получим:

В этом случае бесконечная последовательность цифр содержит период – один и тот же повторяющийся набор цифр. Такие дроби называются бесконечными периодическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби.

Рассмотрим на примере, как найти последнюю. Превратим в обыкновенные дроби числа q = 0,777… и р = 0,999… Умножим на 10, получим:

1) 10 q = 7,777(7), откуда 10 q = 7 + q; т.е. 9 q = 7, или .

2) 10 р = 9,999(9), откуда 10 р = 9 + р, т.е. 9 р = 9, или р = 1.

Замечание. Число 1 можно записать в виде 1,000…, т.е. с периодом 0; аналогично 0,24 = 0,24000… и т.д.

Имеют ли смысл бесконечные непериодические десятичные дроби?

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, длина катетов которого равна 1. Обозначим длину гипотенузы х. По теореме Пифагора

х ² = 1² + 1² = 2                                                                                     (1)

Докажем, что корни этого уравнения не являются рациональными числами. Предположим противное, что корнем (1) является дробь  (a, b – целые числа). Если дробь  можно сократить, сделаем это, и далее будем считать, что дробь  уже является несократимой. Подставим  в (1), получим , или

а ² = 2× b ²                                                                                                (2)

Т.к. в правую часть (2) входит множитель 2, то а ² – число четное, следовательно, число а – также четное, его можно записать в виде а = 2× с. Подставим это выражение в (2), получим (2× с)² = 2× b ², или, сократив на 2, 2× с ² = b ². Отсюда следует, что число b ² также четное, следовательно, b – тоже четно. Поскольку а и b четные, дробь  является сократимой. Это противоречит предположению о несократимости дроби . Противоречие возникло вследствие того, что в самом начале было сделано неверное предположение о рациональности корня уравнения (1). Значит, никакая дробь не может быть корнем уравнения (1). Квадратный корень из 2 не является рациональным числом, т.е. бесконечной периодической десятичной дробью.

Найдем приближенные значения числа . Ясно, что 1< x <2. Далее, 1,4²< x <1,5², поскольку 1,4² = 1,96<2, 1,5² = 2,25>2. С точностью до 0,1 х»1,4. Аналогично 1,41< x <1,42, т.к. 1,41²<2, 1,42²>2. С точностью до 0,01 имеем х»1,41. Аналогично 1,414< x <1,415, т.е. х»1,414 и т.д. Эта процедура позволяет находить все более точные приближения числа . Ни одно из них не может быть равно , т.к. все приближенные значения являются рациональными числами, а  не является рациональным числом. Поэтому последовательность приближенных значений будет бесконечной:

=1,414213562373…

Описанным способом можно находить десятичные приближения любого числа. Для обыкновенных дробей это просто деление уголком. Поскольку  не является рациональным, то представляющая его бесконечная дробь не будет периодической.

Всякую бесконечную десятичную дробь можно записать в виде суммы бесконечного числа слагаемых:

Такие суммы называются рядами. Первый ряд – так называемая геометрическая прогрессия, второй ряд прогрессией не является.

Другой источник бесконечных непериодических десятичных дробей - корни квадратных, кубических и биквадратных уравнений. Например, уравнение х³=5 имеет корень , уравнение 2х²=3 – корни . Корень любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами

                                                                  (3)

является, вообще говоря, бесконечной непериодической десятичной дробью.

Рассмотрим два очень важных числа, которые являются бесконечными непериодическими дробями: число p и число е. Число p - отношение длины l произвольной окружности к её диаметру d:

Это число известно с глубокой древности. Вавилонские, египетские, китайские и греческие математики нашли различные приближенные значения p:

3;    ;  ;      ; ;       и др.

Архимед рассматривал вписанные в окружность правильные 2 n - угольники. Он нашёл, что .

Лейбниц доказал, что p можно представить в виде ряда:

                                                                      (4)

(дроби в правой части не являются десятичными). Этот ряд позволяет находить приближенные значения p. Перепишем (4) так:

В скобках стоят положительные числа. Отбросив их, мы увеличиваем правую часть:

Отсюда  (оценка сверху).

С другой стороны, из равенства (4) получаем:

В скобках стоят положительные слагаемые. Отбрасываем их, получаем (правая часть уменьшается):

 (оценка снизу), следовательно, .

Это довольно грубая оценка p. Её можно улучшить, если взять больше слагаемых ряда (4).

p=3,141592653589793…

Неперово число е также может быть представлено в виде ряда:

,                                                                                (5)

где n! = 1×2×3×…× n, или «n факториал».

Чтобы найти приближенное значение е, нужно в сумме (5) оставить несколько слагаемых, а остальными пренебречь. Чем больше слагаемых оставим, тем точнее результат:

е = 2,718281828459045…

С помощью ЭВМ можно подсчитать числа p и е с любой точностью.

Числа p и е относятся к так называемым трансцендентным числам. Так называются числа, которые не могут быть корнями никакого уравнения вида (3) с целыми коэффициентами.

Действительными или вещественными числами называются все бесконечные десятичные дроби. Множество таких чисел обозначается R. Оно включает в себя множество Q всех рациональных чисел, поэтому можно записать

N Ì Z Ì Q Ì R

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Множество R является упорядоченным, т.е. любые два действительных числа можно сравнить между собой, указать, какое из них больше. Для этого нужно последовательно сравнивать цифры, стоящие на одинаковых позициях. Например,

2,381615 > 2,381529

На первых четырех позициях соответствующие цифры одинаковы, а 6>5.

Единственное исключение из этого правила – не рассматривать периодические дроби с периодом 9. всякую такую дробь можно заменить равной ей конечной десятичной дробью, например: 0,999…=1; 0,42999…=0,43; 2,65999…=2,66.

Свойства операций сложения и умножения действительных чисел:

1) a + b = b + a - переместительный закон (коммутативность);

2) (a + b)+ c = a +(b + c) – ассоциативность (переместительность) сложения;

3) (a × b) c = a × (b × c) – ассоциативность умножения;

4) a × (b + c)= a × b + a × c – дистрибутивность.

Правило округления десятичных дробей, например, до сотых:

0,811»0,81; 0,812»0,81;…; 0,815»0,82; 0,816»0,82;…; 0,819»0,82.

Действия со степенями:

по определению: а ⁰ = 1, а ⁿ = a × a × a ×…× a (n сомножителей); .

Отсюда следует, что для любых m, n ÎN a ^m a ⁿ= a ^m+n: (a ⁿ)^m= a ^nm: a ⁿ b ⁿ=(a × b)ⁿ_.

Число, которое при возведении в степень n даёт а, называется корнем степени n из а. Если число n нечетное, то существует только один действительный корень степени n из числа а; его обозначают , или . Если n четное, а число а – положительное, то действительных корней будет два. Например, . Положительный корень называется арифметическим, и именно он обозначается  или .

Степень с дробным показателем определяется так:

Имеют смысл и выражения вида а^х, где х – любое действительное число, например, . Действия с такими степенями производятся по тем же правилам, что и с натуральными степенями, например, .

Стандартная форма записи чисел реализуется в виде произведения двух множителей, первый из которых – между 1 и 10, а второй является степенью десяти, например

243507 = 2,43507×10⁵; 0,184 = 1,84×10^-1 и т.д.

Такая форма используется при вычислениях с калькулятором, особенно если не хватает разрядов для точных вычислений. Она также используется в компьютерах.