Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Для описания многих ситуаций знания только среднего арифметического недостаточно. Представим ситуацию, в которой двух студентов послали на практику в города А и Б. Среднесуточная температура в этих городах в это время года равна нулю. В город А осторожный студент взял только теплые вещи, в город Б – оделся по – летнему. В городе А днем температура составляет +2⁰ С, ночью – минус 2⁰ С. В городе Б днем +15⁰ С, ночью – минус 15⁰ С. Результат такой: хотя средняя температура была нулевой, оба заболели: один перегревался, другой мёрз.

Отсюда видно, что, помимо средней величины, нужно знать еще и то, как заданные числа рассеяны около среднего значения. Для этого вводятся дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией величин  называется число:

                                 (5)

Пример. На обследование каждого из 10 автомобилей было затрачено следующее время:

Таблица 3.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	25	30	22	22	54	36	41	45	25	40

 

Здесь x_i – время, затраченное на обследование автомобиля с номером i. Найти дисперсию x_i.

Решение. Составим таблицу из трех столбцов:

Таблица 4.

xi	xi -
25	- 9	81
30	- 4	16
22	- 12	144
22	- 12	144
54	20	400
36	2	4
41	7	49
45	11	121
25	- 9	81
40	6	36
	0	1076

 

В последней строке приведены суммы величин в столбцах. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что сумма отклонений (второй столбец) всегда должна равняться нулю! Если это не так, значит, допущена ошибка в вычислениях.

Отсюда

(мин²)

Если известны частоты , то вместо (5) можно использовать формулу:

                          (6)

 

Средним квадратическим отклонением величин  от их среднего значения  называется величина

                                                                                                   (7)

В примере среднее квадратическое отклонение равно:

(мин.)

Дисперсия является средним арифметическим квадратов разностей x_i - . Отсюда S можно рассматривать как среднее отклонение величин  от их среднего значения . Имеет место следующее свойство величины S: она не превышает наибольшей из величин | x_i -  |.

Рассмотрим теперь понятие переменной (случайной) величины. В примере каждому автомобилю ставится в соответствие время его обследования. В этом случае говорят, что время обследования есть переменная величина Х, принимающая значения .

Теперь допустим, что нужно обследовать все автомобили в городе. Число автомобилей очень велико, и описать все значения Х практически невозможно. Однако можно, не проводя самого обследования, предсказать результаты приближенно. Составим таблицу на базе таблицы 3:

Таблица 5

	22	25	30	36	40	41	45	54
	0,2	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1

 

Обычно прогноз содержит следующую информацию о величине Х:

- диапазон значений величины Х;

- среднее квадратическое отклонение S;

- интервал наиболее вероятных значений Х;

- долю значений Х, попадающих в заданный промежуток;

По данным примера:

- время обследования изменяется от 22 до 54 мин.;

- среднее время обследования одного авто =34 мин.;

- среднее отклонение Х от среднего значения составляет 10,4 мин.

Обычно серединой интервала наиболее вероятных значений Х является точка , а в сам интервал попадает более половины значений Х. Рассмотрим интервал :  - S = 23,6;  + S = 44,4. Из таблицы 5 видно, что в этом интервале (23,6; 44,4) содержатся 5 значений Х: 25, 30, 36, 40, 41. Суммарная частота 0,6 (60%).

Совокупность всех рассматриваемых объектов называется генеральной совокупностью, а часть объектов, каким – либо способом выбранных для обследования, называется выборкой. В данном случае генеральная совокупность – все автомобили в городе, а выборка – те 10 авто, которые рассматривались.

Очень важно сделать выборку правильно. От этого зависит точность и достоверность выводов и результатов прогноза. В математической статистике изучаются способы отбора, позволяющие сделать выборку так, чтобы полученная информация была достаточно полной и адекватной интересующему признаку генеральной совокупности. Тогда величины  и D будут близки к значениям, которые могли бы быть получены при обработке всей генеральной совокупности.