Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого стрижня

Припустимо, що під дією сили , величина якого трохи перевищує критичну силу , стрижень із шарнірно закріпленими кінцями (рис. 2,а) злегка зігнувся (рис. 2,б).

а	б

Рис. 2. До визначення критичної сили стиснутого стрижня

Віднесемо скривлену вісь стрижня до прямокутної системи координат, вибравши початок координат у точці .

Припустимо, що критична сила не викликає в стрижні напружень, що перевищують границю пропорційності, і що розглядаються тільки малі відхилення від прямолінійної форми. Тоді для визначення критичної сили можна скористатися наближеним диференціальним рівнянням пружної лінії:

.

(3)

Тут — найменший момент інерції перетину стрижня.

У розрахунок приймається найменша твердість стрижня , так як очевидно, що прогин відбудеться перпендикулярно до осі найменшої жорсткості, якщо решта умов для згину у всіх площинах однакові, як у розглянутому випадку.

На відміну від поперечного вигину при поздовжньому в правій частині цього рівняння варто ставити знак «мінус», так як абсолютна величина згинального моменту

,

(4)

а знак прогину завжди протилежний знаку другій похідній, тобто знаки моменту й другої похідної протилежні при будь-якому напрямку .

Підставивши в рівняння (3) вираз (4) для згинального моменту, одержимо

,

(5)

або

(6)

Увівши позначення

(7)

перепишемо рівняння (6) так:

(8)

Ми одержали однорідне лінійне диференціальне рівняння, загальний інтеграл якого, як відомо, представляється гармонійною функцією

(9)

Постійні інтегрування й повинні бути підібрані так, щоб задовольняти граничним умовам

З першої граничної умови виходить, що , тобто

(10)

Із другої умови одержуємо

(11)

Якщо допустити, що , то прогин буде тотожно дорівнювати нулю, тобто

Це рішення відповідає однієї з можливих форм рівноваги стиснутого стрижня, а саме — прямолінійній формі. Нас же цікавить значення сили , при якій стає можливої інша форма рівноваги — криволінійна. Тому що , те при скривленій формі стрижня повинне виконуватися рівність

Корінь цього рівняння може мати нескінченна безліч значень: , тобто

де — довільне ціле число.

Однак перший корінь відпадає, тому що він не відповідає вихідним даним задачі. Таким чином,

(12)

Тоді з рівняння (14.7) одержимо вираз для стискаючої сили:

(13)

Рівняння (13) являє собою формулу, уперше отриману Ейлером.

Практично нас цікавить найменше значення поздовжньої стискаючої сили, при якому стає можливим поздовжній згин. Найменше значення критичної сили одержимо при й :

(14)

Вертаючись до рівнянь (10) і (12), одержимо рівняння вигнутої осі стрижня при малих деформаціях:

Найбільший прогин стрижня при . Тоді . Отже, рівняння пружної лінії стислого стрижня має вигляд

(15)

Графік цієї залежності показано на рис. 3.

Максимум має місце при такому значенні , для якого , тобто , або .

Рис. 3. Пружна лінія стиснутого стрижня

Найменше значення аргументу, при якому косинус дорівнює нулю, буде , виходить , звідки

(16)

Якщо , те , а максимум буде посередині стрижня, що відповідає так званому основному випадку, показаному на рис. 2.

Зі співвідношення (16) або з рівняння (15) і рис. 4 виходить, що являє собою число напівхвиль синусоїди, що розташовуються на довжині зігнутого стрижня.

Рис. 4. Різне число напівхвиль синусоїди