Основні гіпотези і припущення в опорі матеріалів.

 

Багаторічні експериментальні дослідження та досвід розрахунків на міцність дозволили фахівцям в додаток до розглянутих раніше гіпотез щодо матеріалу сформулювати кілька основних принципів, які є загальноприйнятими та спрощують розрахунки:

Принцип початкових розмірів. Малі деформації і переміщення деталі (споруди) не враховуються при складанні рівнянь рівноваги. Тобто деталь розглядається як недеформована, але тільки на етапі статичного аналізу.

Принцип суперпозиції або незалежності дії сил. Якщо деформації (напруження) змінюються пропорційно до навантажень (лінійність системи), то можна у довільному порядку додавати деформації (напруження), що виникли від дії окремих сил. Загальний деформований (напружений) стан деталі не залежить від порядку прикладання зовнішніх сил.

Принцип Сен-Венана. Якщо довільне навантаження прикладене в області, розмір  якої малий у порівнянні з розмірами деталі, то деформований (напружений) стан у точках, віддалених від місця навантаження на  чи більше, практично не залежить від конкретного способу прикладання навантаження. Таким чином, наприклад, розподілені сили, прикладені в малій області, можна замінити в розрахунковій схемі зосередженою рівнодіючою силою.

Про деякі інші припущення та гіпотези йдеться далі у відповідних розділах посібника.

Більшість реальних задач в галузі розрахунків на міцність є статично невизначеними що ускладнює розрахунки величин внутрішніх сил і напружень і обумовлює необхідність додаткового аналізу деформованого стану деталі. І навпаки, деформації не можуть бути розраховані окремо від напружень.

Розглянемо в загальних рисах основний універсальний метод, за допомогою якого принципово можливо розв’язати будь-які задачі механіки твердого деформівно́го тіла. Згідно з цим методом задача повинна розглядатися з трьох сторін (рисунок 1.3):

 

 

Рисунок 3 – „Опорний сигнал” щодо основного методу
механіки твердого деформованого тіла (МТДТ)

 

Статична сторона задачі, де

· розглядаються – внутрішні силові фактори та напруження , ;

· основна ідея– ідея рівноваги будь-якої уявно відокремленої частини деталі (конструкції);

· реалізація– у вигляді рівнянь рівноваги.

Геометрична сторона задачі, де

· розглядаються – переміщення та деформації , ;

· основна ідея– ідея узгодженості деформацій будь-яких суміжних частин деталі (конструкції);

· реалізація – у вигляді рівнянь сумісності деформацій.

Фізична сторона задачі, де

· розглядаються – деформівні́ властивості матеріалу, які характеризуються фізичними пружними константами, такими як модуль подовжньої пружності , модуль зсуву , коефіцієнт Пуассона  (фізичний смисл цих величин ми будемо розглядати в подальшому);

· основна ідея– ідея взаємозалежності напружень і деформацій;

· реалізація – у вигляді рівнянь Гука або інших законів деформування, які зв’язують між собою напруження і деформації і до яких входять вищезгадані фізичні константи.

Статичні, геометричні та фізичні рівняння сукупно складають так звану розв’язувальну систему рівнянь, з якої принципово можливо визначити всі невідомі: напруження і деформації.

Рисунок 3 є так званим „опорним сигналом”, який за допомогою асоціацій, коротких підказок, абревіатур та ін. допомагає краще запам’ятати та зрозуміти суть питання (у нашому випадку суть основного методу).

У подальших розділах посібника, при вивченні розтягу, згину, кручення брусу, ми неодноразово будемо користуватися цим основним методом МТДТ.

 

Питання для самоконтролю

1. Визначити основні завдання курсу опору матеріалів.

2. Що розуміють під міцністю, жорсткістю і стійкістю матеріалів?

3. Як в опорі матеріалів класифікуються зовнішні сили?

4. Дати визначення внутрішніх сил. Чим відрізняється поняття внутрішніх сил у курсі опору матеріалів від означення цих сил у фі­зиці? Які ви знаєте внутрішні силові фактори?

5. Розкажіть про призначення і сутність методу перерізів.

6. Що таке епюра внутрішніх силових факторів? Розкажіть правила побудови епюр.

7. Які гіпотези використовують у курсі опору матеріалів? 

8. Що таке деформація тіла? Які види деформацій вам відомі?

9. Що таке напруження в точці перерізу тіла? Її одиниці.

 

Заняття № 35

Тема 2: Розтяг і стиск.

План

1. Сутність деформації розтяг та стиск, внутрішні силові фактори при ній. Побудова епюр «N» та «σ».

2. Поздовжні і поперечні деформації при розтязі (стиску). Закон Гука.     Коефіцієнт поперечної деформації (Пунсона). Жорсткість перерізів            жорсткість брусу.

3. Визначення осьових переміщень поперечних перерізів

4. Розв’язання задачі. Побудова епюр «N», «σ» і визначення абсолютного подовження

         ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА

 

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

Студенти повинні знати: внутрішні силові фактори при розтязі, правила побудови епюр поздовжніх мил і нормальних напружень, вміти визначати осьове подоаження.

Студенти повинні вміти: будувати епюри та визначати осьове подовження.

 

1. Сутність деформації розтяг та стиск, внутрішні силові фактори при ній. Побудова епюр «N» та «σ»

Розтяг або стиск стержня викликається силами, що діють уздовж його осі (рис.2.1,а). При цьому в поперечних перерізах із шести внутрішніх силових факторів виникає тільки один — поздовжня (осьова) сила N, епюра якої наведена на рис.2.1,б. Осьова сила в перетині є рівнодіючою нормальних напруг, що виникають у кожній із точок перетину. Відсутність поперечних сил дає підставу припустити, що дотичні напруги в кожній точці поперечного перерізу дорівнюють нулю.

 

А яким чином ми будемо визначати напруги при розтязі та стиску?

Розглянемо геометричну сторону завдання. При спостереженні деформації розтягу стержня, на поверхні якого нанесені лінії, перпендикулярні до осі брусу (рис.1,а), можна відзначити, що ці лінії, зміщуючись паралельно самим собі, залишаються прямими й перпендикулярними до осі бруса. Припускаючи, що зазначена картина переміщення перетинів має місце й усередині стержня, приходимо до гіпотези плоских перерізів: поперечні перерізи стержня, плоскі до деформації, залишаються плоскими й після неї, переміщуючись поступально уздовж осі стержня.

 

а
б
в

Рис.1. Поздовжня сила в перетині і її епюра

 

Розіб'ємо стержень на поздовжні (паралельні осі стрижня) елементи нескінченно малих поперечних перерізів і будемо надалі називати їх волокнами. На підставі гіпотези плоских перетинів варто укласти, що всі волокна подовжуються на ту саму величину і їхні відносні подовження однакові:

(1)

Це аналітичне вираження геометричної сторони завдання.

Фізична сторона розглянутого завдання полягає у встановленні залежності деформацій від напруг. При пружних деформаціях ця залежність підкоряється закону Гука:

(2)

де Е — модуль пружності першого роду.

З огляду на сталість модуля пружності Е для однорідного ізотропного матеріалу, а також(1)і (2), знаходимо, що

(3)

Підставляючи вираз (2.2) в (2.3), одержуємо

(4)

Звідки

(5)

Знак напруги залежить від знака поздовжньої сили в розглянутому перетині. У випадку стиску напруги вважають від'ємними. Формула (5) справедлива лише для перетинів, досить віддалених від місць прикладення зосереджених навантажень.

Визначаючи напруги при розтягу, стиску й інших видах деформацій, широко користуються положенням, що носить назву принципу Сен-Венана: якщо тіло навантажується статично еквівалентними системами сил, тобто такими, у яких головний вектор і головний момент однакові, і при цьому розміри області додатка навантажень невеликі в порівнянні з розмірами тіла, то в перетинах, досить вилучених від місць додатка сил, напруги мало залежать від способу навантаження.

Загального теоретичного доказу принцип Сен-Венана не має, але його справедливість підтверджується численними теоретичними й експериментальними дослідженнями.

Пояснимо цей принцип на наступному прикладі. Той самий стрижень, закріплений верхнім кінцем, навантажується на вільному кінці статично еквівалентними навантаженнями, рівнодіючі яким виражаються величиною вектора F. Навантаження прикладені різними способами: а) у вигляді зосередженої осьової сили; б) у вигляді двох сил; в) у вигляді розподіленого навантаження. Дослідження показують, що у всіх випадках у поперечному перерізі, віддаленому на відстань, що перевищує в 1, 5-2 рази його поперечні розміри, напруги практично однакові. У перетинах же, розташованих близько від місця додатка сил, величина напруг і характер їхніх розподілів різні.

 

2.3.2. Поздовжні і поперечні деформації при розтязі стиску).Закон Гука. Коефіцієнт поперечної деформації (Пунсона). Жорсткість перерізів, жорсткість русу. Визначення осьових переміщень поперечних перерізів

Осьовим (центральним) розтягом або стиском брусу – називається такий простий вид навантаження, при якому єдиним внутрішнім силовим фактором у поперечному перерізі цього стержня є внутрішня поздовжня сила .

Простіше за все цей вид навантаження можна реалізувати, якщо прикласти до стержня зовнішні сили , лінія дії котрих збігається з його віссю (рисунок 2.2 а).

 

Рисунок 2 Модель розтягу брусу

 

Для визначення внутрішньої подовжньої сили  застосуємо метод перерізів (рисунок 2 б).

З умов рівноваги уявно відрізаної частини стержня отримаємо: .

У загальному випадку, коли зовнішніх сил декілька, маємо правило:

Подовжня сила  у поперечному перерізі стержня чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісь стержня зовнішніх сил, розташованих
 з однієї сторони перерізу.

Правило знаків: , якщо вона розтягує (направлена від перерізу);

, якщо вона стискає (направлена до перерізу).

У поперечних перерізах діють тільки рівномірно розподілені (гіпотеза Бернуллі) нормальні напруження σ, що можуть визначатися за формулою

,                                                (5)

де  – площа перерізу.

Розтягнутий стержень деформується, як це зображено на рисунку 2.2, і змінює свої подовжні та поперечні розміри на відповідні величини
  та   (при стиску було б  та ).

Відносні деформації:

подовжня                          (6)

поперечна                                (7)

Експериментально встановлено, що в межах пружних деформацій для кожного матеріалу зберігається постійне відношення

                                                                                                        (8)

Ця пружна константа називається коефіцієнтом поперечної деформації, або коефіцієнтом Пуассона.

Для будь-яких ізотропних матеріалів . Для більшості конструкційних матеріалів ; для пробки ; для гуми, рідини, а також при пластичних деформаціях твердих тіл можна прийняти .

Експерименти свідчать, що при навантаженні у відповідних межах для більшості матеріалів можна прийняти:

.                                             (9)

Ця залежність має назву закон Гука і формулюється таким чином:

Нормальні напруження прямо пропорційні лінійним деформаціям.

В формулі (5) – модуль подовжньої пружності або модуль пружності першого роду. Він характеризує властивості матеріалу опиратися пружному деформуванню, тобто чим більший модуль , тим менше деформується матеріал. Оскільки  – безрозмірна величина, то одиниці вимірювання  ті ж, що і у , тобто Паскаль.

Для конструкційних сталей приймають , для міді .

Якщо в формулу (9) закону Гука підставити значення  та  згідно з (5) і (6), то отримаємо запис закону Гука для визначення абсолютних деформацій

                                  .             (10)

В цій формулі добуток  називається жорсткістю при розтягу.

Слід відзначити, що формулою (10) можливо користуватися на ділянці стержня, в межах якої  і   залишаються постійними.

 

Розв ' язання задачі

Приклад розв'язання задачі

Це завдання вимагає від студента уміння будувати епюри, поздовжніх сил, нормальних напруг і визначити подовження або вкорочення бруса.

При роботі бруса на розтяг і стиск в його поперечних перетинах виникає поздовжня сила N. Поздовжня сила в довільному поперечному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на його поздовжню вісь всіх зовнішніх сил, що діють на відсічену частину.

Для розрахунку на міцність і визначення переміщень необхідно знати закон зміни поздовжніх сил по його довжині. Правило знаків: при розтязі поздовжня сила додатна, при стиску - від'ємна. Умова міцності при розтязі і стиску має вигляд , де σ, N - відповідно нормальне напруження і поздовжня сила в небезпечному перерізі (тобто в перерізі, де виникають найбільші напруги); А - площа поперечного перерізу; [σ] - допустима напруга. За умовою міцності можна вирішувати три види завдань:

1) перевірка міцності,

2) підбір перерізу ;        

       3) визначення допустимої навантаження .

  Послідовність виконання завдання:

1. Розбити брус на ділянки, починаючи від вільного кінця. Межами ділянок є перетини, в яких прикладені зовнішні сили, а для напруг також і місця зміни розмірів поперечного перерізу.

2. Визначити за методом перерізів поздовжню силу для кожної ділянки (ординати епюри N;) і побудувати епюру поздовжніх сил N. Провівши паралельно осі бруса базову (нульову) лінію епюри, відкласти перпендикулярно їй в довільному масштабі одержані значення ординат. Через кінці ординат провести лінії, проставити знаки і заштрихувати епюру лініями, паралельно ординатам.

3. Для побудови епюри нормальних напружень визначаємо напруги в поперечних перерізах кожної із ділянок. У межах кожної ділянки напруги постійні, тобто епюра на даній ділянці зображується прямою, паралельною осі бруса.

4. Переміщення вільного кінця бруса визначаємо як суму подовжень (вкорочень) ділянок бруса, обчислених за формулою Гука.

Приклад 4. Для даного ступінчатого брусу (рис. 3, а) побудувати епюру поздовжніх сил, епюру нормальних напружень і визначити переміщення вільного кінця, якщо  МПа; ; кН; ; ; .

	Рис. 3

 

Розв'язання:

1. Розбиваємо брус на ділянки, як показано на рис. 3 а.

2. Визначаємо ординати епюри N на ділянках бруса:

    ; ; ; ; .

 Будуємо епюру поздовжніх сил (рис. 3 б).

3. Обчислюємо ординати епюри нормальних напружень:

;

;

;

.

 

Будуємо епюру нормальних напружень (рис. 3, в).

4. Визначаємо переміщення вільного кінця:

;

;

;

;

;

.

Брус подовжується на 0,23 мм.

Питання для самоконтролю

1. В якому випадку переміщення вільного кінця однорідного бруса при осьовій дії зовнішніх сил дорівнює нулю?

2. В якому випадку переміщення перерізу mn. однорідного
бруса при осьовій дії зовнішніх сил направлено зліва

1. направо?

2. В якому випадку епюра нормальних сил по довжині однорід­ного бруса при осьовій дії зовнішніх сил має як від’ємні, так і додатні значення?

3. В якому випадку епюра нормальних напружень по довжині однорідного бруса при осьовій дії зовнішніх сил має тільки додатні значення?

4. В якому випадку переміщення вільного кінця однорідного бруса при осьовій дії зовнішніх сил найбільше?

 

Заняття № 36

Тема: Розтяг і стиск.

План

1. Аналіз напруженого стану при одновісьовому розтязі. Максимальні дотичні напруження.

    ЛІТЕРАТУРА основна

ЛІТЕРАТУРА додаткова

Студенти повинні знати: сутність аналізу напруженого стану деформованого тіла, визначення головних площин при деформації.

Студенти повинні вміти: визначати нормальні та дотичні напруження в довільних площинах напруженого тіла.